Решение.

Тангенциальное ускорение выражается формулой:

а_=.

Из формулы нормального ускорения

а_п=найдём=.

По условию задачи a_n= (1 + 6t+ 9t²) = 9(t+ )²,R= 2,25м= 1,5² м.

Тогда == 31,5(t+ ) = 4,5(t+ ).

а_=[4,5(t+ )] = 4,5(м/с²).

2. При переменном движении справедливо соотношение: S= .

Подставляя вместо скорости её значение, получим

S= .

Путь, пройденный телом за t₁:S (t₁= 10) = 4,5= 240 (м).

3. Полное ускорение а=. Найдём полное ускорение в момент времениt=t₂.

a (t₂= 6) === 361,03 (м/с²).

Ответ:а_= 4,5м/с²;S= 240м;a= 361,03м/с².

Пример 1.7.Камень брошен с вышки со скоростью₀= 20м/св горизонтальном направлении. Определить скорость, тангенциальноеа_, нормальноеа_пускорения камня, а также радиус кривизны траектории через две секунды после бросания.

₀= 20м/с

t₁ = 2 c

 = ? а_= ?а_п= ?R= ?

Решение.

1. Камень, брошенный горизонтально, одновременно участвует в движении по горизонтали с постоянной скоростью_г=₀иускоренном движении по вертикалисо скоростью_в=gt.

Результирующая скорость движения камня: =.

Вмомент времениt₁скорость камня:(t=2) == 28 (м/с).

Направим ось Xпо горизонтали, а осьYпо вертикали вниз. Траектория движения камня – парабола. Скорость камня в момент времениtнаправлена по касательной к траектории (рис.3).

2. Так как горизонтальная составляющая скорости камня постоянная, то горизонтальная составляющая ускорения равна нулю. Поэтому полное ускорение а всё время направлено вертикально вниз и равно ускорению свободного падения g:

а=g=.

рис. 3 Воспользуемся рисунком, направив полное ускорение вертикально вниз, тангенциальное ускорение по направлению скорости (по касательной к траектории) и нормальное ускорение перпендикулярно тангенциальному так, чтобы выполнялось векторное равенство .

Из рисунка видно, что cos=

sin= .

Тогда а_= .

а_п= .

Найдём ускорения в момент времени t₁= 2c.

а_== 6,86 (м/с²).

а_п== 7 (м/с²).

3. Известно, что а_п=, гдеR– радиус кривизны траектории. ТогдаR=.

Радиус кривизны траектории в момент времени t₁= 2cравен

R== 112 (м).

Ответ: = 28м/с;а_= 6,86м/с²;а_п= 7м/с²;R= 112м.

Пример 1.8.Тело массойт= 1кгдвигается прямолинейно, причём зависимость пройденного путиSот времениtдаётсяуравнениемS = 3 – 2t + 5t ² – 0,2t ³.Найти силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.

т= 1кг

S = 3 – 2t + 5t ² – 0,2t ³

t = 2 с

F= ?

Решение.

Из второго закона Ньютона имеем: F=ma.

Так как а=,

то, найдя производные, получим:

Скорость: = = (3 – 2t+ 5t ²– 0,2t ³) = – 2 + 10t– 0,6t ².

Ускорение: а=(– 2 + 10t– 0,6t²) = 10 – 1,2t.

Тогда F=m∙a=m∙(10 – 1,2t).

По условию задачи t= 2c, подставив в уравнение вместоtего значение, получим:

F= 1∙(10 – 1,22) = 7,6 (Н).

Ответ: F= 7,6Н.

Пример 1.9.Боёк свайного молота массойт₁= 600кгпадает на сваю массойт₂= 100кгсо скоростью₁= 4м/с. Определить: 1) кинетическую энергию бойка в момент удара; 2) энергию, затраченную на углубление сваи в грунт; 3) энергию, затраченную на деформацию сваи; 4) к.п.д. удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю считать как неупругий.

т₁= 600кг

т₂= 100кг

₁= 4м/с

₂ = 0 м/с

Т₁= ?Т₂= ?Т= ?= ?