Решение.

Человек, держащий стержень, составляет вместе со скамьёй изолированную механическую систему, поэтому момент импульса Iэтой системы должен иметь постоянное значение. Для нашего случая

I₁₁=I₂₂,

где I₁– момент инерции скамьи с человеком и стержня, расположенного вертикально вдоль оси вращения скамьи.I₁=I+т0²=I, т.к. стержень будем считать очень тонким иR0.

I₂– момент инерции скамьи с человеком и стержня, расположенного горизонтально.

I₂ = I + ml². Имеем:₂=, или

₂== 3,3 (рад/с).

Ответ:₂= 3,3рад/с.

Пример 1.19.Уравнение колеблющейся точки имеет видх= 3 sin t(смещение в сантиметрах, время в секундах). Определить: 1) амплитуду колебания, круговую частоту, период и начальную фазу; 2) смещение точки в момент времениt=1/6c; 3) максимальную скорость и максимальное ускорение.

х= 3 sin t

t = 1/6 c

1) А= ?;

2) x(t) = ?

3) _max= ?;а_max= ?Решение.

1. Напишем уравнение гармонического колебательного движения в общем виде

x=А sin (t+₀), (1)

где х– смещение колеблющейся точки;А– амплитуда колебания;– круговая частота;t– время колебания;₀– начальная фаза.

Сравнивая заданное уравнение с уравнением (1), выпишем: А= 3 см,

 =  с^–1,₀= 0.

Период колебания определяется из отношения

 =

откуда Т= (2)

Подставив в (2) значение , получим:Т= = 2 (с).

2. Для определения смещения подставим в заданное уравнение значение времени: х= 3 sin = 3 sin 30= 1,5 (см).

3. Скорость колебательного движения найдём, взяв первую производную от смещения колеблющейся точки:

 = = 3 cos t.

Максимальное значение скорость будет иметь при cos t= 1:

_max= 3· 1= 9,42 (см/с).

Ускорение есть первая производная от скорости по времени:

а= = –3² sin t.

Максимальное значение ускорения а_max= –3² (см/с²) = –29,6 (см/с²).

Знак «минус» показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Пример 1.20.Точка совершает одновременно два колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выраженных уравнениями:х=3costсмиу=4costсм. Найти уравнение траектории, построить её с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

х= 3costсм

у= 4costсм

у=f(x)

Решение.

Складываются взаимно перпендикулярные колебания точки с разными амплитудами и периодами. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из заданных уравнений. Применив формулу косинуса половинного угла

Уравнение параболы:

| x | < 3, |y|< 4.

рис.7

х

–3

–2,5

–2

–1,5

–1

–0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

у

0

1,15

1,63

1,996

2,3

2,58

2,82

3,05

3,26

3,46

3,64

3,82

4

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, оси которой на оси Ох. Из уравнениях= 3costвидно, что амплитуда вдоль осихравна 3см, а из уравнения 4costследует, что амплитуда вдоль осиОуравна 4см. Значит абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от – 3 до 3, а ординаты – от – 4 до 4. Для построения траектории найдём по уравнению значенияу, соответствующие ряду значенийх, удовлетворяющих условию | х | = 3.

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки, соединив которые плавной линией получим траекторию результирующего колебания. Она представляет собой часть параболы (рис. 7).

Из условия видно, что период колебаний по горизонтальной оси:

₁== 2с.

Период колебаний по вертикальной оси Т₂= 4с. Значит, совершив одно колебание вдоль осих, точка вдоль осиусовершит лишь половину колебания.

Определим направление колебания.

При t= 0cx= 3cos0 = 3см

у= 4cos0 = 4см

При t= 1cx= 3cos= –3см

у= 4cos= 0см, т.е. находится в вершине параболы.

При t= 2cx= 3cos2= 3см

у= 4cos2= –4см.

Таким образом, материальная точка двигается от точки Ак вершине параболы, далее к точкеDи обратно.

Пример 1.21.Определить периодТгармонических колебаний диска радиусомR=30смоколо горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

R= 0,3м

d=

__________

Т= ?

Решение.

Так как ось вращения диска находится выше его центра масс, то диск можно рассматривать как физический маятник. Период малых колебаний Тфизического маятника определяется выражением:

Т= 2,

где I– момент инерции маятника относительно оси вращения;

т– масса маятника;g– ускорение свободного падения;

d– расстояние между осью вращения и центром масс.

По условию d= .

Момент инерции диска относительно оси вращения определим по теореме Штейнера: I=I₀+md ²= mR²+mmR².

Подставив найденные величины, получим:

Т= 2.

Подставив данные условия, получим:

Т= 23,14= 1,35с.

Ответ:Т= 1,35с.

Пример 1.22. Искусственный спутник Земли движется по круглой орбите на высоте h = 700 км. Определить скорость его движения. Радиус Земли R=6,37 ·10⁶м, масса её М = 5,98 ·10²⁴ кг.

h= 700 км

R=6,37 ·10⁶м

М = 5,98 ·10²⁴ кг

 = ?

Решение.

На спутник, как и на всякое тело, движущееся по круговой орбите, действует центростремительная сила F= (1)

где т– масса спутника;– скорость его движения;

r– радиус кривизны траектории.

Если пренебречь сопротивлением среды и силами тяготения со стороны всех небесных тел, то можно считать, что единственной силой является сила Fпритяжения между спутником и Землёй. Эта сила и играет роль центростремительной силы.

Согласно закону всемирного тяготения

F= (2)

где – гравитационная постоянная.

Приравняв правые части (1) и (2), получим

Отсюда скорость спутника = (3)

Выпишем числовые значения величин в СИ:= 6,67·10^–11 м³/(кг·с²);

М= 5,98·10²⁴ кг;R= 6,37·10⁶ м;h= 7·10⁵ м.

Проверим единицы правой и левой частей расчётной формулы (3), чтобы убедится, что эти единицы совпадают. Для этого подставляем в формулу вместо величин их единицы в Международной системе:

м/с =

Вычислим

Пример 1.23.С какой скоростью упадёт на поверхность Луны метеорит, скорость которого вдали от Луны мала?

М_л= 7,3510²² кг

R_л= 1,73710⁶ м

γ = 6,67210^–11

________________

 = ?