Решение.

1. Кинетическая энергия бойка в момент удара о сваю определяется по формуле

Т₁== 4800 (Дж)

2. После неупругого удара боёк и свая будут двигаться с одинаковой скоростью u, которую найдем, применив закон сохранения импульса при неупругом ударе:

и=.

Т.к. ₂= 0, то имеем:и=.

Энергия, затраченная на углубление сваи в грунт равна кинетической энергии системы «боёк-свая» в начальный момент

Т₂=

 4800 = 4114,3 (Дж).

3. Боёк до удара обладал энергией Т₁, энергияТ₂пошла на углубление сваи.

Значит, энергия Т=Т₁–Т₂затрачена на деформацию сваи.

Т= 4800 – 4114,3 = 685,7 (Дж).

4. Так как предназначение свайного молота – забивать сваи в грунт, то полезной следует считать энергию, затраченную на углубление сваи в грунт. Тогда, к.п.д. установки – это отношение энергии, затраченной на углубление сваи, ко всей энергии Т₁, т.е.

 = = 0,857.

Ответ:Т₁= 4800Дж;Т₂= 4114,3Дж;Т= 685,7Дж;= 85,7 %.

Пример 1.10. Для подъёма воды из колодца глубинойh= 20м установили насос мощностьюN= 3,7 кВт. Определить массу и объём воды, поднятой за времяt= 7 ч, если к.п.д. насоса= 80%.

h= 20м

N= 3,7 кВт

t= 7 ч

 = 80%

m = ?

V = ? Решение.

Известно, что мощность насоса с учётом к.п.д. определяется формулой

(1)

где А– работа, совершённая за времяt;– коэффициент полезного действия.

Работа, совершённая при подъёме груза без ускорения на высоту h, равна потенциальной энергииП, которой обладает груз не этой высоте, т.е.

А=П=т g h, (2)

где g– ускорение свободного падения.

Подставив выражение работы Апо (2) в (1), получим

откуда т= . (3)

Выразим числовые значения величин, входящих в формулу (3), в единицах СИ:N= 3,7 кВт = 3,7·10³ Вт;t= 7 ч = 2,52·10⁴ с;

= 80% = 0,8;h= 20 м.

Проверим единицы правой и левой частей расчётной формулы (3):

кг = кг · м²· с · с²/ (с³· м · м), кг = кг.

Вычислим

т=

Чтобы определить объём воды, надо её массу разделить на плотность:

V=

Пример 1.11. Маховое колесо в виде однородного диска радиусомR= 1ми массойт= 490кгвращается с частотойп₁= 20об/с. Через времяt= 1минпосле прекращения действия вращательного момента оно остановилось. Найти момент сил тренияМ_три число оборотовN, которое сделало колесо до полной остановки.

R= 1м

т= 490кг

п₁= 20с^–1

п₂= 0с^–1

t = 1 мин = 60 с

М_тр= ?N= ?

Решение.

1. Из основного закона динамики для вращательного движения имеем:

Мt=I₂–I₁,

где М– момент сил трения, приложенных к колесу;

I– момент инерции махового колеса; I= mR²– для однородного диска;

₁,₂– начальная и конечные угловые скорости.

Так как ₂= 0, тоМt= –I₁,

откуда М= –.

Угловая скорость связана с частотойпсоотношением= 2n, тогда имеем:М_тр= –= – 512,87 (Нм).

2. Угол поворота диска в радианах при равнозамедленном вращении определяется выражением:= 2N=₀t– ,

где N– число оборотов;₀– начальная угловая скорость диска;

t– время вращения;– угловое ускорение.

При равнозамедленном вращении

 = .

Тогда N== 600 (об).

Ответ: М_тр= – 512,87Нм;N= 600об.

Пример 1.12.Маховик в виде сплошного диска массойт=80кг и радиусомR=50см начал вращаться равноускоренно под действием вращающего моментаМ= 20 Н·м. Определить: 1) угловое ускорение; 2) кинетическую энергию, приобретённую маховиком за времяt= 10cот начала вращения.

т=80кг

R=50см

М= 20 Н·м

₀= 0

t = 10 c

 = ?; Т= ?