Решение.

Средняя квадратичная скорость определяется по формуле

_кв= (1)

где R– универсальная (молярная) газовая постоянная;

Т– абсолютная температура газа;М– молярная масса.

Для определения неизвестных величин ТиМвоспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона:

pV= RT.

Отсюда , или, (2)

где – плотность газа.

Подставив значение из (2) в (1), найдём:

_кв= (3)

Выразим числовые значения в единицах СИ:р= 1,01·10⁴ Па;= 0,2 кг/м³.

Проверим единицы правой и левой частей расчётной формулы (3):

м/с = м/с = м/с.

Вычислим _кв= = 389 (м/с).

Ответ: _кв= 389м/с.

Пример 2.6. Вычислить удельные теплоемкостис_vис_рсмеси неона и водорода, если их массовые доли составляют ω₁= 80% и ω₂= 20%.

ω₁= 80%

ω₂ = 20%

с_v= ?;с_р = ?

Решение.

Теплоту, необходимую для нагревания смеси найдем двумя способами:

Q=c_v(m₁+m₂)ΔT,Q= (c_v1m₁+c_v2m₂)ΔT,

где c_v1 ис_v2– удельные теплоемкости неона и аргона при постоянном объеме;

с_v– удельная теплоёмкость смеси при постоянном объёме.

Приравнивая выражения, получим:

с_v=с_v1илис_v = c_v1ω₁+c_v2ω₂,

где ω₁и ω₂– массовые доли газов.

, ω₂=

Аналогично для удельной теплоемкости при постоянном давлении:

с_р=с_р1ω +с_р2ω₂.

Известно, что

с_v=

где i– число степеней свободы молекулы газа.

Для неона (одноатомный газ) – i₁= 3.,М₁= 2010^-3

с_v1=

Для водорода (двухатомный газ) – і₂= 5,М₂= 210^-3

с_v2= .

Так как с_р=

тогда

с_р1=;

с_р2=

Найдем с_vи с_рсмеси газов:

с_v= (6,6210² 0,8 + 1,0410⁴ 0,2) = 2,5810³;

с_р= (1,0410³ 0,8 + 1,4610⁴ 0,2) = 3,7510³

Ответ: с_v=2,5810³;с_р= 3,7510³

Пример 2.7. Неон, объёмомV₁= 1л, находясь при нормальных условиях, изотермически расширяется за счёт полученного извне тепла до объёмаV₂= 3л. Найти работуА, совершённую газом при расширении, количество теплотыQ, сообщённого газу, изменение внутренней энергииUгаза.

Т = const

V₁ = 1л

V₂ = 3л

А= ?;Q= ?;U = ?

Решение.

Работа, совершаемая газом при изотермическом изменении его объёма, определяется выражением

А=,

где m– масса газа;М– молярная масса газа;

R– универсальная газовая постоянная;Т– термодинамическая температура.

Применим уравнение Клапейрона-Менделеева для начального состояния газа:

,

где р– давление газа при нормальных условиях.

Тогда А=рV₁ ln.

Подставим данные условия: р= 1,0110⁵ Па;V₁= 10^–3м³, получим:

А= 1,0110⁵10^–3ln= 1,1110² (Дж).

Q = A = 1,1110² (Дж).

Так как Т=constиз условия задачи, то изменение внутренней энергии:

U= , ибоТ= 0.

Ответ: Q=A= 1,1110² Дж,U=0.

Пример 2.8. Кислород массойт= 320 г изобарически расширяется при давлениир= 2·10⁵ Па. Температура газа изменяется отt₁= 20Cдо некоторого значенияt₂. Определить работу А, совершённую газом при расширении, и конечный объёмV₂газа, если на расширение затрачена теплота Q = 10 кДж.

т= 320 г

р= 2·10⁵ Па

р = сonst

t₁ = 20 C

Q = 10 кДж

А = ?; V₂= ?;

Решение.

1. Для вычисления работы газа воспользуемся формулой

А = R (T₂–T₁), (1)

где М– молярная масса кислорода;R– универсальная (молярная) газовая постоянная;Т₁иТ₂– начальная и конечная температура газа.

Неизвестная разность температур может быть выражена из формулы теплоты изобарического процесса

Q=с_рт (Т₂–Т₁), (2)

где с_р– удельная теплоёмкость при постоянном давлении, откуда

Т₂–Т₁= (3)

Подставив это выражение разности температур в (1), получим

А= (4)

Выпишем в СИ значения величин, входящих в формулу:Q=10кДж=10⁴Дж,i= 5 (молекула кислорода двухатомная).

А = = 2,86·10³(Дж) = 2,86 (кДж).

2. Для вычисления конечного объёма V₂воспользуемся иным выражением для работы газа в изобарическом процессе:

А=р (V₂–V₁), (5)

где V₁иV₂– начальный и конечный объём газа.

Отсюда V₂ = (A + pV₁). (6)

Второе слагаемое в скобках, содержащее неизвестную величину V₁можем определить, воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона для начального состояния газа:

рV₁= RT₁. (7)

Подставив выражение рV₁по (7) в (6), получим

V₂ = (A + RT₁).

Выразим числовыезначения величин в СИ и подставим их в расчётную формулу:М= 32·10^–3 кг/моль;т= 320 г = 0,32 кг;R= 8,31 Дж/(моль·К);

Т= (20 + 273) К = 293 К;р= 2·10⁵ Па.

V₂= = 0,136 (м³) = 136 (л).

Ответ: А = 2,86 кДж,V₂= 136л.

Пример 2.9. Воздух, взятый при температуреt₁= 0C, был адиабатически сжат так, что его объём уменьшился в три раза. Определить температуру воздуха после сжатия.

t₁= 0C

V₁ = 3 V₂

t₂= ?