Примеры решения задач

Пример 2.1.Сколько атомов содержится в 1 кг гелия? Определить массу одного атома гелия.

т= 1 кг

М = 4·10^–3 кг/моль

т₁ = ?

Решение.

1. Число молекул N в данной массе газа определяется выражением

N = N_A = N_A, (1)

где т– масса газа;М– молярная масса;=т/М– количество вещества;

N_A– число Авогадро.

Выразим числовые значения в СИ: т = 1 кг; М = 4·10^–3 кг/моль; N_A = 6,02·10²³ моль^–1.

Подставим эти значения в формулу (1) и произведём вычисления. Так как молекула гелия одноатомная, то число атомов равно числу молекул

N=

2. Чтобы определить массу атома т₁, достаточно массу газа разделить число атомов, содержащихся в нём:

т₁= (2)

Подставим числовые данные и вычислим

т₁= кг = 6,67·10^–27кг.

Ответ: т₁= 6,67·10^–27кг.

Пример 2.2. В баллоне содержится смесь азота количеством вещества₁=5моль и водорода количеством вещества₂= 10 моль при температуреt=7Cи давлениир_см= 2,5 МПа. Определить плотность смеси.

₁=5моль

₂= 10 моль

М ₁= 28·10^–3 кг/моль

М ₂= 2·10^–3 кг/моль

t=7C

р_см = 2,5 МПа

 =?

Решение.

На основании определения плотности как физической величины для данного случая имеем

 = (1)

где т₁ит₂– массы азота и водорода соответственно;V– объём баллона.

Выразим массу азота и водорода через количество вещества и молярную массу:

т₁=₁ М ₁;т₂=₂ М ₂(2)

Для определения объёма газа в баллоне воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона для смеси газов:

p_смV = ·RT = (₁ + ₂)·RT,

где R– универсальная (молярная) газовая постоянная;

Т– термодинамическая температура.

Отсюда найдём

V= (3)

Подставив выражения т₁ит₂по (2) иVпо (3) в (1), получим

(4)

Выразим все величины, входящие в (4), в единицах СИ:₁= 5 моль;

₂= 10 моль;М ₁= 28·10^–3 кг/моль;М ₂= 2·10^–3 кг/моль;

R=8,31 Дж/(моль·К);р_см=2,5 МПа = 2,5·10⁶ Па;Т=280 К.

Проверим единицы правой и левой частей расчётной формулы:

кг/м³= = кг · Па/Дж = кг · Н/(м²· Н · м) = кг/м³.

Подставим значения в формулу (4) и произведём вычисления:

24,6 (кг/м³)

Ответ: = 24,6кг/м³

Пример 2.3. В баллоне объёмомV= 10л находится гелий под давлением

р₁= 1МПаи температуреТ₁= 300К. После того как из баллона было взято

m= 10ггелия, температура в баллоне понизилась доТ₂= 290К. Определить давлениер₂ гелия, оставшегося в баллоне.

V= 10л

р₁= 1МПа

Т₁= 300К

Т₂ = 290 К

р₂= ?

Решение.

Воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева, применив его к конечному состоянию газа:

р₂V=,

где m₂– масса гелия, оставшегося в баллоне.

Откуда р₂=.

Воспользовавшись условием, найдем:

m₂ = m₁ – m.

Массу m₁гелия найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева для

начального состояния газа:

m₁= .

Тогда имеем: р₂=

Подставим данные в единицах СИи вычислим:

Т₂= 290К,Т₁ = 300К,V= 1010^-3м³,m= 1010^-3кг,

R= 8,31,М= 410^-3,р₁= 10⁶Па.

р₂=

Ответ: р= 3,64∙10⁶Па.

Пример 2.4. Определить внутреннюю энергию водяного пара массойm= 180г, принимая его за идеальный газ при температуреt= –73C, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы пара при той же температуре.

m= 180г

t= –73C

М = 1810^-3

U= ?;= ? Решение.

Внутренняя энергия идеального газа выражается формулой:

U=(1)

где i– число степеней свободы молекулы газа;М– молярная масса газа;

R– универсальная газовая постоянная.

Выразим числовые данные в единицах СИи вычислим: i= 6, (так как молекула водяного пара трехатомная;М = 1810^-3m = 0,18кг;

R= 8,31Т= 200К.

U=

Так как вращательному движению трехатомной молекулы соответствует три степени свободы, то энергия вращательного движения одной молекулы водяного пара определяется выражением = 3₀, где₀ =– энергия, приходящая на одну степень свободы молекулы.

= 3, (2)

где k= 1,3810^-23- постоянная Больцмана.

 = 1,3810^–23200 = 4,1410^–21(Дж).

Ответ: U= 4,9910⁴Дж, = 4,1410^–21Дж.

Пример 2.5. Плотность газа= 0,2 кг/м³, давлениер= 1,01·10⁴ Па. Определить при этих условиях среднюю квадратичную скорость молекул газа.

 = 0,2 кг/м³

р = 1,01·10⁴ Па

_кв= ?;