Вращательное движение твёрдых тел

1. Момент МсилыFотносительно оси вращения определяется формулой

М=Fd,

где d – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

2. Момент инерции твёрдого тела

I= ,

где интегрирование распространяется на весь объём тела.

Моменты инерции некоторых тел массы тотносительно оси, проходящей через центр масс:

- момент инерции однородного цилиндра (диска) с радиусомR:

I=тR ²,

- момент инерции полого цилиндра с внутренними радиусамиR₁иR₂:

I=т() ,

- момент инерции полого цилиндра(обруча):I=тR ²,

- момент инерции стержнядлинойl: I=т l²,

- момент инерции однородного шара:I=тR².

Если для какого-либо тела известен его момент инерции I₀относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден потеореме Штейнера:

I = I₀ + md²,

где т– масса тела;d– расстояние от центра масс до оси вращения.

3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси М=(I),

где М– результирующий момент внешних сил, действующих на тело;

I– момент инерции тела;– угловая скорость.

Если I = const, то М = I=I  ,

где  – угловое ускорение, приобретённое телом под действием момента сил М.

4. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси:

L=I,

где – угловая скорость.

5. Момент импульса материальной точки

L = m    R,

где т– масса точки;– линейная скорость точки;R– расстояние точки от оси вращения, относительно которой определяется момент импульса.

6. Закон сохранения момента импульса:

а) в общем виде=const,

где L_i – момент импульса тела с номером i, входящего в состав системы.

б) для двух телI₁₁+I₂₂= ,

где I₁,₁,I₂,₂– моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; – те же величины после взаимодействия.

в) для одного тела, момент инерции которого может меняться

I₁₁=I₂₂,

где I₁иI₂– начальное и конечное значения момента инерции;

₂и₁– начальная и конечная угловые скорости тела.

7. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси:

Т=, илиТ=

8. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

Т=,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела;

– скорость центра инерции;– кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

9. Момент, закручивающий на угол однородный круглый стержень

М=,

где с =– (с– постоянная кручения);G– модуль поперечной упругости (модуль сдвига);R– радиус стержня (проволоки);l– длина стержня;– угол закручивания.

10. Потенциальная энергия Пдеформированного тела при кручении

П=.

Колебательное движение и волны

1. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:

х=Аcos(t+₀),

где х– смещение;А– амплитуда колебаний;

– круговая (циклическая частота);₀– начальная фаза колебаний.

= 2,=,

где – частота колебаний;Т– период колебаний.

2. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания:

== –Аsin(t+₀).

3. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

а=== –А²cos(t+₀) =²х.

4. При сложении гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты возникает гармоническое колебание того же периода.

Пусть х₁=А₁cos(t+₁);х₂=А₂cos(t+₂).

Тогда результирующие колебания: х₁+х₂=х=А cos(t+).

Амплитуда результирующего колебания определяется при помощи формулы:

А=.

Начальная фаза результирующего колебания определяется выражением:

=arctg.

5. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих с одинаковым периодом имеет вид:

cos(₂–₁),

где х=Acos(t+₁) – уравнение колебаний вдоль осих,

у=Вcos(t+₂) – уравнение колебаний вдоль осиу.

Вид траектории точки зависит от разности фаз колебаний и от амплитуд.

6. Уравнение плоской бегущей волны имеет вид: у=Acos(t–),

где А– амплитуда;у– смещение любой из точек среды с координатойхв

момент времени t;– скорость распространения колебаний в волне.

7. Связь разности фаз = (₂–₁) колебаний с расстояниемхмежду точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний

 = х,

где  – длина волны (=T),  – скорость распределения волны; T–период колебаний.