Решение.

Момент вращающей силы, действующей на маховик, определяется выражением

М = I   = I,

где I– момент инерции;– угловое ускорение, равное второй производной от угла поворота по времени.

Воспользовавшись условием, найдём:

 =  = (2 + 16t – 2t²) = 16 – 4t,

где – угловая скорость.

 = = (16 – 4t)= 4,

где – угловое ускорение.

Таким образом, видно, что вращение происходит с постоянным угловым ускорением. М=I = 504 = 200 (Нм),

т.е. вращающий момент постоянен.

Мощность N=M=М∙(16 + 4t) =I ∙(16 + 4t).

Мощность в момент времени t₁= 3cравна

N (t₁ = 3) = 200∙(16 + 4  3) = 5,610³ (Вт).

Ответ:М= 200Нм;N=М(16 + 4t)Вт;N(3) = 5,610³Вт.

Пример 1.16.Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шараТ= 14Дж. Определить кинетическую энергию поступательногоТ₁и вращательногоТ₂движения шара.

Т = 14 Дж

Т₁= ?Т₂= ?

Решение.

Полная кинетическая энергия Ттела, катящегося без скольжения определяется выражением:Т=Т₁+Т₂.

Кинетическая энергия поступательного движения:

Т₁=

Кинетическая энергия вращательного движения

Т₂=,

где т– масса шара,– скорость центра масс шара,

I– момент инерции шара,– угловая скорость вращения шара.

Для шара I = mR².

Известно так же, что =, гдеR– радиус шара. Тогда имеем:

Т=.

Найдём т²=.

Тогда Т₁== 10 (Дж)

Т₂=Т–Т₁= 14 – 10 = 4 (Дж)

Или Т₂=т²==Т=14 = 4 (Дж).

Ответ:Т₁= 10Дж;Т₂= 4Дж.

Пример 1.17. Стержень длинойl= 1,2ми массойМ= 18кгможет вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня. В стержень, на расстоянииl₁=lот оси вращения ударяет пуля массойт= 9г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью₀= 550м/с, и застревает в стержне. На какой уголотклоняется стержень после удара.

l= 1,2м

М= 18кг

l₁=l= 0,8м

т= 9г= 910^–3кг

₀ = 550 м/с

 = ?

Решение.

Пуля, попав в стержень, застрянет в нём. Удар будем считать неупругим (рис. 6). Найдём угловую скорость вращения стержня с застрявшей в нём пулей в начальный момент, применив закон сохранения момента импульса.

Начальный момент импульса пули L₁=m₀l₁.

В конечный момент удара стержень имел угловую скорость, а пуля линейную скорость=l₁.

Тогда конечный момент импульса пули

L₂=ml₁=m.

Момент инерции стержня найдём по теореме Штейнера

I = M l² + M = .

рис.6 Применив закон сохранения импульса, имеем:

т₀ l₁ = I  + т;  = .

Учитывая, чтоI= иl₁=l, имеем:

 = = 0,46рад/с.

В момент попадания пули, стержень будет обладать кинетической энергией

Т=.

Затем стержень повернётся некоторый угол , центр тяжести при этом поднимется на высотуh=l₁(1 –cos).

Изменение потенциальной энергии стержня при этом будет равно

П=Мgl₁(1 –cos).

По закону сохранения энергии: =М g l₁(1 –cos).

Учитывая I= , получим:

cos = 1 –

cos = 1 – = 0,9935;

 = arccos 0,9935 = 6,52 = 631.

Ответ:  = 631.

Пример 1.18.На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения. Скамья с человеком вращается, с угловой скоростью₁= 4рад/с. С какой угловой скоростью₂будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение. Суммарный момент инерции человека и скамьиI= 8кгм². Длина стержняl= 2м, массат= 5кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

₁= 4рад/с

I= 8кгм²

l= 2м

т = 5 кг

₂= ?