5. Вязкое трение при низких скоростях

Как известно, сила сопротивления воздуха на низких скоростях прямо пропорциональна скорости тела v. Она возникает вследствие вязкого трения поверхности тела о воздух. В частности, для шара радиусаRможно записать уравнение динамики

,

где - коэффициент вязкости. Учитывая, что масса тела, где- плотность тела, его можно переписать в виде

(1.7)

1. Задание

1. Смоделируйте процесс торможения стального шара, катящегося по гладкой поверхности (силой трения качения пренебречь). Плотность стали 7800 кг/м³, радиус шара 1 см, начальная скорость 10 м/с, вязкость воздуха. Постройте график зависимости скорости от времени.

2. Определите время, за которое скорость шара уменьшится вдвое (время торможения). Зависит ли оно от начальной скорости шара?

3. Исследуйте зависимость торможения от радиуса шара. Постройте две кривые для шаров разных радиусов. Постройте зависимость времени торможения от радиуса.

4. Сравните торможение стального и деревянного (плотность 900 кг/м³ ) шаров одинакового радиуса. Постройте графики, иллюстрирующие эти процессы.

6. Турбулентное трение

При более высоких скоростях режим ламинарного обтекания нарушается и в следе двигающегося предмета возникают турбулентные вихри. Они гораздо эффективнее отбирают энергию у тела. При этом сила сопротивления становится уже не линейной, а квадратичной функцией скорости, поэтому уравнение движения записывается в виде

,

где - коэффициенты вязкого и турбулентного трения соответственно,- функция знака скорости (принимает значение –1, еслиv<0, 0, еслиv=0, 1 еслиv>0). Критерием перехода в турбулентный режим считается превышение критического значения числом Рейнольдса:

.

Здесь d– характерный размер тела. Критическое значение зависит от формы тела, для цилиндра оно равно 40, для прочих тел выше, но составляет величину порядка 100. Как видно из уравнения, чем крупнее тело, тем больше его число Рейнольдса при заданной скорости. С этим связано то, что, как правило, для макроскопических тел турбулентное трение является превалирующим.

7. Действие иных сил

До сих пор мы рассматривали только действие сил трения на тело – соответсвенно, в поле нашего зрения находились только процессы торможения. Но на тела могут действовать и другие силы (приводящие, например, к разгону тела). В этом случае уравнение движения выглядит так

,

откуда получаем дифференциальное уравнение для скорости

1. Задание

1. Известно, что бегун-спринтер набирает за 2 с скорость 10 м/с и в дальнейшем она сохраняется постоянной на протяжении всей дистанции. Смоделируйте этот процесс и подберите соответствующие параметры задачи (F,m,). Вязким трением пренебречь.

2. Рассчитайте время, необходимое бегуну после пересечения финишной черты для сбавления скорости до 1 м/с. (считать, что после ее пересечения сила Fзануляется).

Лабораторная работа 1/4

8. Разрядка конденсатора

Рассмотрим заряженный конденсатор емкостью C, замкнутый через резистор сопротивлениемR. Согласно второму правилу Кирхгофа сумма напряжений по замкнутому контуру, проходящему через конденсатор и резистор, равна нулю:. Отсюда легко получить уравнение

(1.8)