3. Вынужденный распад ядер

При высоких концентрациях радиоактивного материала необходимо учитывать вынужденный распад ядер. Вероятность такого распада пропорциональна интенсивности нейтронного потока, который в первом приближении можно считать пропорциональным количеству радиоактивного материала

Здесь - некий коэффициент, зависящий от геометрии задачи, эффективности захвата нейтронов и т. д. Учет вынужденного распада приводит к появлению нелинейности в уравнении радиоактивного распада

.

Именно нелинейные компоненты уравнения отвечают за эффекты типа ядерного взрыва.

1. Задание

Смоделируйте процесс радиоактивного распада урана ²³⁵U(период полураспада 703.8 млн лет) с учетом нелинейных эффектов. Зная, что критическая масса, при которой происходит ядерный взрыв, составляет величину порядка 20 кг, определите значение, при котором за 1 час распадется половина радиоактивного материала.

Лабораторная работа 1/2

4. Диффузия

При диффузии за интервал времени dtнекоторое количество молекулdNпроходит через поверхность площадьюS,при этом скорость диффузии пропорциональна градиенту концентрации веществаgradnи описывается уравнением Фика:

, (1.4)

где D– коэффициент диффузии.

В качестве примера рассмотрим диффузию кислорода из крови, распространяющейся по кровеносному сосуду радиуса Rсо скоростьюvв окружающие ткани. Градиент концентрации определяется концентрацией кислорода в кровиn, в окружающих тканяхn₀и толщиной сосудистой стенкиh:

.

Выход dNмолекул кислорода приводит к уменьшению его концентрации в крови на величинуdn=dN/V, где – некий объем крови, помещаемый в участке капилляра длинойl. Площадь боковой поверхности, через которую идет диффузия .В этом случае уравнение (1.4) может быть записано в виде

.(1.5)

Учитывая, что давление кислорода связано с концентраций соотношением

p=nkT,

где k-постоянная Больцмана,T- термодинамическая температура, его можно записать в виде

. (1.6)

1. Задание

1. Смоделируйте процесс диффузии крови в ткани в процессе ее транспортировки по кровеносному сосуду. Считать, что скорость движения равна 1 см/с, коэффициент диффузии . Радиус капилляраR=10 мкм, толщина капиллярной стенкиh=1 мкм. Давление кислорода в артериальной крови равно 96 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133 Па). Давление кислорода в тканяхp₀принять равным 50 мм рт.ст. Постройте графики зависимости концентрации кислорода в крови от времени траспортировки и от расстояния, пройденного от начала капилляра. При какой длине капилляра и времени транспортировки давление кислорода упадет до уровня 60 мм рт.ст., равному давлению кислорода в венозной крови (время истощения)? Сопоставьте эти величины со временем кругооборота крови (1 мин) и средней длиной капилляра (около 10 см).

2. Постройте аналогичные зависимости при радиусе капилляра 100 мкм (толщина стенки 10 мкм) и 1 мм (толщина стенки 100 мкм). В каком капилляре эффективнее идет диффузия? Постройте зависимость времени истощения от радиуса капилляра, при условии, что толщина стенки составляет десятую долю от нее?

3. Смоделируйте процесс насыщения крови кислородом в легких. Давление кислорода в венозной крови 60 мм.рт.ст., в воздухе - 100 мм рт ст, толщина капиллярной стенки 0.4 мкм, радиус капилляра 2 мкм. Подберите такое значение коэффициента диффузии, чтобы при скорости 1 мм/с и длине капилляра 10 мм происходило насыщение кислородом крови до давления 95 мм рт. ст.

4. Смоделируйте процесс диффузии кислорода из артериальной крови в ткани с учетом изменения диаметра кровеносного сосуда от 1 см в артерии до 10 мкм в капилляре. Считать, что толщина стенки составляет 10% от радиуса сосуда. Параметры давления взять из 1-го задания, коэффициент диффузии – подобранный в 3-м задании. Скорость движения считать равномерной.

Лабораторная работа 1/3