Задача 2: Падение тела с учетом вязкого трения
Апробировав алгоритм на простой задаче, аналитическое решение которой нам известно, мы можем сделать шаг «навстречу реальности». Как известно, в атмосфере на падающее тело начинает действовать сила сопротивления воздуха, поэтому
Если тело достаточно мало, а его скорость невелика, то при его обтекании воздухом не возникает турбулентных вихрей, и сила сопротивления пропорциональна скорости, например, для шара радиуса Rона описывается формулой Стокса
,
(14)
где
- вязкость среды. Тогда уравнение динамики
можно переписать в виде
Учитывая, что масса капельки
,
получим:
(15)
Проведя аналогичную предыдущему разделу замену, получим математическую постановку задачи
Алгоритм
function dy=fall1(t,y,g,eta,ro,R);
dy=[y(2);
-g-4.5*eta/ro/R/R*y(2)];
Рис. 6. Зависимости высоты и скорости капель дождя от времени при учёте вязкого трения
Произведем расчет для двух капель воды диаметром 1 мм и 0.2 мм.
R1=5e-4; R2=2e-4;
eta=1.86e-5;
ro=1000;
[t1,y1]=ode45(@fall1,[0 15],[100, 0], [], 9.8, eta, ro, R1 )
[t2,y2]=ode45(@fall1,[0 15],[100, 0], [], 9.8, eta, ro, R2 )
subplot(121)
plot(t1, y1(:, 1), t2, y2(:,1))
xlabel('Время'), ylabel('Высота'),
axis([0 15 0 100])
subplot(122)
plot(t1, y1(:, 2), t2, y2(:,2))
xlabel('Время'), ylabel('Скорость')
Результаты расчета, показывают, что вязкое трение оказывает слабое действие на большую каплю. Между тем, маленькая капля уже через две секунды прекращает разгон и в дальнейшем двигается равномерно.
Задача 3: Падение тела с учетом турбулентного трения
Условие
реализации ламинарного режима обтекания
тела определяется числом Рейнольдса
,
гдеR– характерный
размер,v– скорость,
а
-
вязкость воздуха – оно должно быть
менее 100. Учитывая, что вязкость воздуха
,
ясно, что это возможно только для очень
маленьких тел, размером менее 1 мм и
двигающихся со скоростью менее 1 м/с –
видимо, для маленьких капелек воды и
частиц пыли в атмосфере.
Между тем,
даже скорость капель дождя составляет
10 м/с, поэтому для прочих тел преобладающим
является турбулентное трение
. (16)
Заметим,
что коэффициент турбулентного трения
в
общем случае не может быть определен.
Его необходимо определять из условия
равновесия силы тяжести и силы
сопротивления. Например, для капли дождя
диаметром 1 мм
Из уравнений динамики получим выражение для ускорения
(17)
После замены переменных получаем систему уравнений первого порядка
Алгоритм
Создаем функцию в отдельном М-файле
function dy=fall2(t,y,g,gamma);
dy=[y(2);
-g-gamma*(y(2)).^2.*sign(y(2))];
Произведём расчёт, используя эту функцию.
ro=1000;
R=5e-4;
gamma=4*pi*R^3*ro/3*9.8/100;
[t2,y2]=ode45(@fall2,[0 15],[100, 0], [], 9.8,gamma)
subplot(121)
plot(t, y(:, 1), ’-.’, t1, y1(:,1),’:’,t2, y2(:,1))
xlabel('Время t, c'), ylabel('Высота z, м’),
axis([0 15 0 100])
subplot(122)
plot(t, y(:, 2),’-.’, t1, y1(:,2), ’:’, t2, y2(:,2))
xlabel('Время t,c'), ylabel('Скорость V_z, м/с')
legend(‘свободное падение’,’вязкое трение’,’турбулентное трение’)
axis([0 15 -500])
На итоговом рисунке представлены результаты расчета для капли диаметром 1 мм по трем моделям – в свободном падении, с учетом вязкого и турбулентного трения. Время падения с высоты 100 м по разным моделям различается более чем вдвое.
Рис. 7. Зависимости высоты и скорости капли диаметром 1 мм от времени в различных приближениях