22.Элементы математической статистики. Случайная величина.

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистиче­ских данных для решения научных и практических задач.

Ма­тематическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях. Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а ана­лиз статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.

Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку. Это возможно сделать, либо проведя сплош­ное наблюдение (исследование, измерение), либо не сплошное, выбо­рочное.

Выборочное, т. е. неполное, обследование может оказаться предпочтительнее по следующим причинам. Во-первых, естест­венно, что обследование части менее трудоемко, чем обследование целого; следовательно, одна из причин — экономическая. Во-вто­рых, может оказаться и так, что сплошное обследование просто нереально. Для того чтобы его провести, возможно, нужно унич­тожить всю исследуемую технику или загубить все исследуемые биологические объекты. Так, например, врач, имплантирующий электроды в улитку для кохлеарного протезирования должен иметь вероятностные представления о расположении улитки слухового аппарата. Казалось бы, наиболее достоверно та­кие сведения можно было получить при сплошном патологоанатомическом вскрытии всех умерших с производством соответствую­щих замеров. Однако достаточно собрать нужные сведения при выборочных измерениях.

Случайной называют такую величину, которая принима­ет значения в зависимости от стечения случайных обсто­ятельств.

Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, скорость моле­кулы, температура воздуха, погрешность в измерении какой-либо величины и др. Если пронумеровать шары в урне примерно так, как это делают при разыгрывании тиража лото, то произвольное вынимание шара из урны покажет число, являющееся случайной величиной.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений: число букв на произ­вольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека, число зерен в колосьях, число молекул в вы­деленном объеме газа и т. п.

Непрерывная случайная величина принимает любые зна­чения внутри некоторого интервала: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель (принимаем пулю за материальную точку) и др.

23. Распределение дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. (часть 1)

Распределение дискретной случайной величины. Диск­ретная случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Обозна­чим дискретную случайную величину X, ее значения х_г х₂, ..., а вероятности Р(х₁) — p₁, Р(х₂) = р₂ и т. д. Совокупность X и Р называется распределением дискретной случайной величи­ны

(2.9)

Так как все возможные значения дискретной случайной вели­чины представляют полную систему то сумма вероят­ностей равна единице.

Здесь предполагается, что дискретная случайная величина имеет п значений. Выражение (2.9) называется условием норми­ровки.

Числовые характеристики дискретной случайной величи­ны. Во многих случаях, наряду с распределением случайной ве­личины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых ха­рактеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее упот­ребительные из них.

1.Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе­ний на вероятности этих значений:

(2.11)

Пусть при большом числе испытаний п дискретная случайная величина X принимает значения x₁, x₂, ..., х_п соответственно т₁, т₂ , …, т_п раз. Среднее значение равно

Если n велико, то относительные частоты т1/п, т2/п, ... будут стремиться к вероятностям, а средняя величина — к математиче­скому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание час­то отождествляют со средним значением.

2.Дисперсией случайной величины называют математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М[Х - М(Х)]² (2.12)

Без вывода приведем удобную для вычисления дисперсии фор­мулу

D(X) = М(Х²) - [М(Х)]². (2.13)

Она означает, что дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

Для того чтобы оценивать рас­сеяние случайной величины в единицах той же размерности, вво­дят понятие 3. среднего квадратического отклонения, под кото­рым понимают квадратный корень из дисперсии: