Используя формулу (1), получаем

В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула (1) применяется несколько раз.

11.Определенный интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.

Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.

Понятие определенного интеграла широко используется в математике и прикладных науках. С его помощью вычисляют площади, ограниченные кривыми, длины дуг, объёмы тел произвольной формы, работу переменной силы, скорость, путь, моменты инерции тел и так далее. Определенный интеграл выражает число.Рассмотрим свойства определенного интеграла.1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

так как интегральные суммы представляют собой числа.

2. Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), заданных на отрезке а, в, равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

3. Постоянный множитель r подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла:

4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолютную величину и изменит свой знак на противоположный:

Если пределы интегрирования равны между собой (b=а), то определенный интеграл равен нулю:

5. Если существуют интегралы ито существует такжеи для любого взаимного расположения точек а, в, с

6. Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, то есть если то и

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f₁(x) и у = = f₂(x) [ f'₂(x)≥f₁(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

12.Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона – Лейбница.

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной суммы

lim∑f(k_i)Δx_i ( от i=1 до n и Δx→0)

где k_i — произвольная точка соответствующего отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница

где F′ — первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

14.Дифференциальные уравнения. Простейшие приемы составления и решения дифференциальных уравнений.

Многие вопросы естествознания и техники сводятся к нахождению неизвестной функции у = f(x), если известно уравнение, содержащее х, у и производные разных порядков функции f(x): f(x), f(x), …, f⁽ⁿ⁾(x) или дифференциалы функции df, d²f, …, dⁿf. Такие уравнения называются дифференциальными.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению: установить закон изменения скорости  свободно падающего тела массой т без учета силы сопротивления воздуха. Согласно второму закону Ньютона, гдеmg – сила тяжести .Полученное уравнение является дифференциальным, так как в него входит производная d/dt искомой функции . Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию  = f(t) , которая тождественно удовлетворяет этому уравнению. Легко проверить, что уравнению удовлетворяет функция вида  = gt + C, где С – любое число. Указав начальные условия, можно найти одну функцию, удовлетворяющую уравнению. Так, если при t = 0  = ₀, то получим функцию  = ₀ + gt.

Основные определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальным называют уравнение, связывающее аргумент х, искомую функцию у = f(x), ее производные f(x), f(x), …, f^(п)(x) или дифференциалы df, d²f, …, d^пf.

Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:

F(x, f(x), f(x), f(x), …, f^(п)(x)) = 0

Если искомая функция y = f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Если функция u = f(x, y, z, …, t) зависит от двух и большего числа аргументов, то уравнение будет содержать частные производные и т.д. Такое уравнение носит названиедифференциального уравнения в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в уравнение.

Например, у = 2ху² + 5 – уравнение первого порядка, а у + у =0 – второго.

Общим решением дифференциального уравнения порядка r называется функция y = f(x,C₁, C₂, …, C_r) от х с произвольными постоянными C₁, C₂, …, C_r,обращающая это уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде Ф(x, у,C₁, …, C_r) = 0, называется общим интегралом.

Так, решением дифференциального уравнения у + у =0 является функция у = С₁ sin x + C₂ cos x, где C₁ и C₂ – произвольные постоянные. При подстановке функции у = С₁ sin x + C₂ cos x в уравнение у + у =0 оно превращается в тождество. Действительно, у_х = C₁ cos x – С₂ sin x; у_хх = - С₁ sin x - C₂ cos x;

- С₁ sin x - C₂ cos x + С₁ sin x + C₂ cos x =0.

При любом наборе конкретных постоянных получаются частные решения. На практике частное решение получают из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а с учетом тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и записывается кратко так:

f(x₀) = y₀; f(x₀) = y₀;…; f^(r-1)(x₀) = y₀^(r-1). Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.