Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Биофизика / Fizika.doc
Скачиваний:
775
Добавлен:
13.02.2016
Размер:
3.55 Mб
Скачать

5.Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл.

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x) непрерывна при данных значениях х и имеет производную

f/x = f(x) + (x), откуда приращение функции f = f(x)x + (x)x, где (х) 0 при х 0. Определим порядок бесконечно малой f(x)x по отношению к бесконечно малой х.:

Следовательно, бесконечно малые f(x)x и x имеют одинаковый порядок малости, то есть f(x)x = Ox.

Определим порядок бесконечно малой (х)х по отношению к бесконечно малой х:

Следовательно, бесконечно малая (х)х имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой х, то есть (х)х = ох.

Таким образом, бесконечно малое приращение f дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f(x)x одинакового порядка малости с х и бесконечно малой (х)х более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой х. Это означает, что в равенстве f=f(x)x + (x)x при х 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть (х)х = оf(x)x.

Первое слагаемое f(x)x, линейное относительно х, называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (Итак, dy = df = f(x)x.

Пример. Вычислить значение дифференциала функции f(x) = x3 + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:

Подставляя значения dx=x=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: dfx=1; = 0,5.

7.Состояние организма как функция многих переменных. Приближенные значения.

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx: — приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

8.Нахождение частных производных и полного дифференциала.

Частной производной первого порядка функции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел

если он существует.

Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x2+ y2 в точке Р(1;2).Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим В точкеР(1;2) значение производной Считаяf(x;y) функцией одного аргумента у, находим В точкеР(1;2) значение производной

Соседние файлы в папке Биофизика