Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Биофизика / Fizika.doc
Скачиваний:
775
Добавлен:
13.02.2016
Размер:
3.55 Mб
Скачать

24.Примеры различных законов распределения. Нормальный закон распределения.(часть 2)

Распределение Максвелла (распределение молекул газа по скоростям). В равновесном состоянии параметры газа (давле­ние, объем и температура) остаются неизменными, однако микро­состояния — взаимное расположение молекул, их скорости — не­прерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул прак­тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной слу­чайной величиной, указать распределение молекул по скоростям.

Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости x молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл, плотность вероятности записывается следующим образом:

(2.28)

где т0 — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Аналогичные выражения могут быть получены для f(у ) и f(z).

(2.36)

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) мож­но найти по общему правилу Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до  (математические подробности опущены):

где М = т0 NA — молярная масса газа, R = k NA — универсальная газовая постоянная, NA — число Авогадро.

Распределение Максвелла позволяет вычислить число моле­кул, скорости которых лежат в определенном интервале . Полу­чим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то веро­ятность dP может быть выражена как отношение числа dN моле­кул, скорости которых заключены в некотором интервале d, к общему числу N молекул:

(2.37)

Из предыдущего следует, что

(2.38)

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от и: до i>2. Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

(2.39)

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от 1 до 2 (рис. 2.7)

24.Примеры различных законов распределения. Нормальный закон распределения.(часть 3)

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ: если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю (d = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана. Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си­ловых полях гравитационном, электрическом и др. называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле­кул от высоты h над уровнем Земли или от потенциальной энер­гии молекулы mgh:

(2.40)

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи­чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка­чественно, в рамках молекулярно-кинетических представлений, объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противо­положных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспонен­циальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

В первом распределении в показателе степени отношение кине­тической энергии молекулы к kT, во втором — отношение потен­циальной энергии к kT.

Соседние файлы в папке Биофизика