9.2. Теорема Пуансо (о приведении системы сил к заданному центру)

Теорема.Любая система сил эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил. Сила приложена в любой наперед заданной точке (центре приведения) и геометрически равна главному вектору системы сил. Момент пары равен главному моменту исходной системы сил относительно центра приведения.

Доказательство.

Пусть точка– центр приведения (полюс приведения). Приведем исходную систему силк центру, пользуясь леммой о параллельном переносе силы.

Вначале приведем силу к заданному центру (рис. 41), которая будет эквивалентна силеи паре:

, .

Аналогично поступим с остальными силами исходной системы(рис. 42).

Получим, что система ~ и парам,,…,. Силы приложены в точке (сходящиеся силы) и могут быть заменены одной силой, приложенной в точкеи геометрически равной главному вектору

.

Система пар ,,…,по теореме о "сложении" пар эквивалентна одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар системы, которая в свою очередь равна главному моменту исходной системы сил относительно центра приведения

.

Теорема доказана.

9.3. Частные случаи приведения системы сил к заданному центру

Пусть в результате приведения системы сил к заданному центру получилось:

1. , — система находится в равновесии; можно сказать, что она приводится кпрямо противоположным силам.

2. , — сила отсутствует, система приводится кпаре сил.Выбор полюса приведения не влияет на момент пары сил.

3. , — система приводится к одной силе –равнодействующей.

4. , ,

Через точку проведем плоскость, перпендикулярную вектору момента(рис. 43). Приведем систему сил к силеи паре сил,– центр приведения. Силалежит в проведенной плоскости, приложена в центре приведенияи равна главному вектору:. Пара сил

с моментом также лежит в проведенной плоскости. Одну из сил пары выберем равной и прямо противоположной силе:. Другую силу пары() проводим так, чтобы момент пары был равен главному моменту системы сил, то есть.

Полученная система сил эквивалентна одной силе, так как применяя элементарную операцию, прямо противоположные силыиможно отбросить. Система сил приводится к равнодействующей.

Общий признак существования равнодействующей

Объединяя частные случаи 2 и 4 можно установить общий признак существования равнодействующей.

Система сил приводится к равнодействующей, если главный вектор не равен нулю, а скалярное произведение главного вектора на главный момент равно нулю:

, .

Действительно, (при), еслиили, то есть.

5. , ,//.

Плоскость пары перпендикулярна векторам силыи момента. Таким образом, система эквивалентна силеи паре, плоскость которой перпендикулярна силе (рис. 44)

Определение. Совокупность силы и пары сил, которая лежит в плоскости, перпендикулярной этой силе называют динамическим винтом или динамой.

6. , ,(рис. 45а).

Разложим вектор момента на две составляющие://,(рис 45б). Через точкупроведем плоскость, перпендикулярную векторуи построим пару такую, что,, а момент пары(рис. 45в). Таким образом, силаи пара сил с моментомэквивалентны силе, приложенной в точек, на расстоянии:

.

Следовательно, исходная система сил эквивалентна силе и паре сил с моментом, причем векторыипараллельны. Система приводится к динаме.

Общий признак приведения системы сил к динаме

Объединяя случаи 5 и 6, получим:

Система сил эквивалентна динаме, если скалярное произведение её главного вектора на главный момент не равно нулю:

.

Теорема Пуансо и частные случаи из нее позволяют привести заданную систему сил к простейшему виду.

Простейшие виды системы сил Условия приведения

1. Прямопротивоположные силы .

2. Пара сил .

3. Одна сила (равнодействующая) .

4. Динама .