2.1. Метод Крамера.

Значення невідомих Хi (i=1,2,...,n) можуть бути одержані по формулам Крамера:

det Aі

Хi = ------------

det А

де матриця Аi визначається з матриці А зміною i-того стовпця стовпцем вільних членів.

Такий спосіб рішення лінійних систем з n-невідомими приводить до обчислювання n+1 детермінант порядку n, що предствляє собою дуже трудойомку операцію при скількох –небудь великом числі n.

2.2. Метод Гаусса.

Найбільш розповсюдженим методом рішення систем алгебраічних рівнянь являється метод Гаусса, у основі якого лежить ідея послідовного виключення невідомих. Існують різні обчислюванні схеми, реалізующі цей метод.Розглянемо одну з них – схему єдиного ділення.

Хай задана система лінійних рівнянь n-го порядку, детермінант якоє відмітний від нуля. Припустимо, що матриця коєфіцієнтів не має нульових діагональних елементів. Якщо такі маються, то відповідною перестановкою рядка їх завжди можна зробити ненульовими.

Метод Гаусса заключається у наступному:

1. З усіх рівнянь, крім першого, виключаються члени, які содержать x₁. Для цього з другого, третього,....., n-го рівнянь системи почленно, включая праві частини, віднімаються перше рівняння, діленне на а₁₁ та помножене відповідно на а₂₁, а₂₂, а₂₃,....., а_n1. У результаті цієї операції порядок усіх рівнянь, за виключенням першого, понижується на одиницю.

2. Знову полученне друге рівняння ділиться на а₂₂ та аналогичним способом, починая з третього рівняння, виключаються усі елементи, які містять х₂.

3. Повторюємо цю процедуру n-1 раз, тобто кожен раз виключая невідомі з нижчерозташованих рівнянь, можна получити у результаті ступенчату трикутникову систему рівнянь, еквівалентну першоначальноє, останнє рівняння якої отримує тільки одну невідому.

4. Рішення ступенчатої системи рівнянь здійснюється шляхом послідовного обчислювання невідомих, починая з останього рівняння.

ПРІКЛАД:

Для визначення змісту компонентів начальної суміші необхідно визначити наступну систему рівнянь :

2.0*x₁+1.0*x₂-0.1*x₃= 3.7

0.4*x₁+0.5*x₂-4.0*x₃=13.4

0.3*x₁-1.0*x₂+1.0*x₃= 1.3

Для рішення системи використовуємо метод Гаусса. З другого та третього рівняння виключимо члени, які містять х₁. Для цього спочатку поділимо перше рівняння на а₁₁ = 2.0. Отримаємо:

х₁+0.5*x₂-0.05*x₃=1.85

Потім, помножимо отримане рівняння на а₂₁ та а₃₁, віднимимо з друго го та третього рівняннь відповідно. Таким чином отримаємо систему з двома невідомими:

0.3*x₂+4.02*x₃=12.66

-1.15*x₂+1.015*x₃=0.745

Поділив перше рівняння отриманої системи на а₂₂ та помножив його на а₃₂, вичтемо з другого рівняння цієї системи.

16.425*x₃=49.275

Таким чином,еквівалентна система має вигляд:

x₁ + 0.5*x₂ - 0.05*x₃ = 1.85

x₂+ 13.4*x₃ = 42.2

16.425*x₃ = 49.275

З отриманої еквівалентної системи послідовно знайдемо:

x₃ = 3.0

x₂ = 42.2 - 13.4*3.0 = 2.0

x₁ = 1.85- 0.5*2.0 + 0.05*0.3 = 1.0

Процес побудування еквівалентної трикутної системи називається прямим ходом, а процес знаходження значень невідомих – оберненим ходом.