6.3. Метод прогонки

При великому n безпосереднї рішення систем (6.5) або (6.7) стаї дуже

нагромадженним. Для рішення систем такого виду було розроблено спеціальний метод, який отримав назву метода прогонки.

Нехай маємо систему (6.5). Розглянемо перше n-1 рівняння

(Y_i+2 - 2Y_i+1 + Y_i) / h² + Pi( Y_i+1 - Y_i ) / h + gi.Yi=Fi;

(i=1,2,...,n-1)

Переобразовуючи , отримуємо:

Y_i+2+(-2+h.P_i)Y_i+1+(1-h.P_i+h ².g_i)Y_i=h² .F_i (6.10)

Введемо позначення :

M_i=-2+h.P_i; K_i=1-h.P_i+h ².g_i, (i=0,1,2,...,n-2) (6.11)

Тоді (6.10) замінюємо в виді:

Y_i+2+M_i.Y_i+1+K_i.Y_i=h ².F_i (6.12)

Розв'язавши (6.12) відносно Y_i+1, одержимо:

Y_i+1 = h ².F_i / M_i - Y_i+2 / M_i - K _i.Y_i / M_i (6.13)

Нетяжко впевнитися в тому, що, вийнявши Y_iіз (6.13) з допомогою крайових умов системи (6.5) , одержимо це рівняння в виді:

Y_i+1=C_i(D_i-Y_i+2) (i=0,1,2,...,n-2) (6.14)

де Ci,di- деякі коефіціїнти.

Нехай, наприклад, i=0; тоді (6.13) прийме вид:

Y₁ =h².F₁/M₀-Y₂/M₀-K₀.Y₀/M₀(6.15)

Із крайової умови A0.Y₀+A1 (Y₁-Y₀) /h=A найдемо Y₀:

Y₀ = A.h /(A₀ - h) - A₁ .Y₁ /(A₀ h - A₁ )

і підставимо його в (6.15). Після преобразовувань одержимо :

Y₁ =[( +h².F₀) -Y₂]

Позначимо:

C₀=;D₀= +h².F₀ (6.16)

Із (6.14) можна записати:

Y_i=C_i-1(D_i-1-Y_i+1)

Підставляючи цей вираз в (6.12), одержимо :

Y_i+2+M_i.Y_i+1+K_i.C_i-1(D_i-1-Y_i+1)=h² .F_i

Звідкіля:

Y_i+1= [(h².F_i-K_i.C_i-1.D_i-1)-Y_i+2] / (M_i-K_i.C_i-1) (6.17)

Зрівнюючи (6.14) і (6.17), одержимо для знаходження Ci і Di рекурентні формули:

Ci=1 / (M_i-K_i.C_i-1) ; D_i = h² .F_i-K_i.C_i-1.D_i-1 (6.18)

де i=1,2,...,n-2; Ci, Di- прогоночні коефіціїнти.

Метод прогонки полягаєз двох етапів: прямого і зворотнього ходу.

На першому етапі (прямий хід) на основі (6.16) знаходжуються коефіціїнти

C₀іD₀. Після цього, послідовно використовуючи рекурентні формули (6.18)

одержують значення C_iі D_i(i=1,2,...,n-2).

Другий етап (зворотний хід) починається з знаходженняY_n. Використовуючи другу крайову умову (6.5) і формулу (6.14) при і=п-2, запишимо систему

двох рівнянь:

B₀ Y_n + B₁ (Yn -Y_n-1 ) = B;

(6.19)

Y_n-1 = C_n-2 (D_n-2 - Y_n )

Розв'язавши цю систему відносно Yn, одержимо:

Y_n-1= (B₁.C_n-2.D_n-2+ B.h) / [B₁(1 + C_n-2) + B_O.h] (6.20)

Підставивши в (6.20) уже знайдені прямим ходом С_п-2,D_n-2,знаходимо Y_n.

Після цього обчислюють Y^n-1,Y_n-2,Y_n-3,...,Y₁,послідовно використовуючи рекурентну формулу (6.14):

Y_n-1 = C_n-2(D_n-2 - Y_n);

Y_n-2 = C_n-3(D_n-3 - Y_n-1);

. . . . . . . . . . . . . . (6.21)

Y₁= C₀(D₀- Y₂) ;

Значення Y₀знаходимо по формулі,яка була одержана з першої крайової

умови (6.5) :

Y₀=(A₁.Y₁- A.h) / (A₁- A₀.h) (6.22)