4.1. Метод трапецій

М

Мал. 4.1. Метод трапецій

етод трапецій заснований на тому, що графік підінтегральнї функції на кожному відрізку роздріблення замінюється стягуючьою його хордою, та площа, обмежена інтервалом роздріблення замінюється площею трапеції (Мал. 4.1). Тоді для інтегралу (4.1) на інтервалі [X_i-1;X_i] можливо записати:

де правая частина виявляється площею трапеції.

(4.2)

Якщо (X_i-X_i-1) = (b-a)/n =h, тоді для визначеного інтеграла виходить таке приблизне значення:

]=

=(4.3)

або

(4.4)

де h = (b-a)/n.

Мал. 4.2. Блок-схема методу трапецій

Формула (4.4) називається формулой трапеції для чисельного інтегрування. Для користування нею необхідно знати значення підінтеграль-ної функції у точках Х_о; Х₁; Х₂ ... Х_n. Якщо підінтеграль-на функція задана графічно, тоді ці значення считуються з креслення, а якщо вона задається аналітично, тоді f(X_o), f(X₁),..., f(X_n) знаходяться шляхом підстави у підінтегральну функцію абсцис Х_о,Х_1,..., Хn.

Блок-схема методу приведена на мал. 4.2.

4.2. Метод Сімпсона

Метод Сімпсона являє собою один з наібільш поширених та частіше вживаємих методів чисельного інтегрування. На відмінну від попереднього метода підінтегральна функція апроксимується у межі двох прилеглих інтервалів роздріблення квадратичною залежністью, оскільки для обчислення коефіціентів параболи необхідно мати три значення функції. Число інтервалів роздріблення при цьому потрібно бути парним.

Р

Мал. 4.3. Метод Сімпсона

азоб'ємо інтервал [a,b] на парне число n=2k проміжков рівної довжини h точками Х_о=а; Х₁; Х_2;;...Х_2n-1; X_2n=b. Розгляним два прилеглих інтервала роздріблення [X_i-1; X_i] та [X_i; X_i+1], кожний з котрих має довжину h=(b-a)/n. Проведемо у точках Х_i-1; X_i; X_i+1 ординати до перетинання з кривой Y=f(X) у точках M_i-1; M_i; M_i+1. Через ці точки проводиться парабола з осью, паралельній осі ординат OY (Мал.4.3). Для площі, обмеженой параболою на інтервалі [X_i-1;Xi₊₁] можливо записати:

Аналогично, для слідуючого інтервала[X_i+1;X_i+3], одержим:

Якщо подібну операцію провести для кожної трійки точек, починая з [X_o;X₂] та закінчуя

[X_n-2;X_n], тобто замінив графік вихідної функції n параболами, а потім складаючи почленно одержані формули, тоді кінцево одержим формулу Сімпсона:

(4.5)

П

Мал.4.4 Блок-схема методу Сімпсона

омітимо, що у одер-жаної суми елементи з коефіціентом 4 відповідають непарним точкам точкам, а елєменти з коефіціентом 2 - парним точкам.

Блок-схема методу приведена на мал. 4.4.

4.3. Оцінка точності формул чисельного інтегрування. Вибір кроку інтегрування

Будь-яка формула інтегрування дозволяє обчислити лише приблизне значення інтервала. Тому можливо записати:

(4.6)

де R- хиба використованої формули інтегрування.

Явно, помилка формули залежить від розміру крока інтегруваня, а також від класа підінтегральної функції. Чим менше крок інтегрування, тим менше помилка R. Розмір кроку інтегрування залежить від заданої точності обчислень та обраної формули інтегрування.