- •Міністерство освіти україни
- •1.1. Відділення корней
- •1.2. Уточнення корней
- •1.2.1. Метод ділення відрізка наполовину
- •1.2.2. Метод Ньютона (доточних)
- •1.2.3. Метод хорд (сікучих)
- •1.2.4. Метод ітеграцій (метод послідовніх приближень)
- •2. Численне рішення систем лінійних алгебраічних рівнянь
- •2.1. Метод Крамера.
- •2.2. Метод Гаусса.
- •2.3 Блок-схема програми для рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса
- •2.4. Метод простій ітерації
- •2.5. Метод Зейделя
- •3. Обробка експериментальних даних
- •3.1. Задачі, які виникають при обробці експериментальних даних
- •3.2. Інтерполіровання
- •3.2.1. Інтерполіровання функцій
- •3.2.2 Зворотне інтерполіровання
- •3.3. Апроксимація
- •3.3.1. Вибір емпирічної формули. Метод вирівнювання
- •2) Розраховуваєм нові перемінні X та y та занесемо їх до табл. 3.1.
- •3.3.2.Визначення параметрів емпирічноі формули
- •3.3.2.1. Метод обраних точок
- •3.3.2.2. Метод середніх
- •3.3.2.3. Метод найменьших квадратів
- •4. Методи чиселього інтегрування
- •4.1. Метод трапецій
- •4.2. Метод Сімпсона
- •4.3. Оцінка точності формул чисельного інтегрування. Вибір кроку інтегрування
- •4.3.1. Вибір кроку інтегрування за оцінкою остаточного члена (помилки)
- •4.3.2. Вибір кроку інтегрування за допомогою подвійного перерахунку
- •5. Методи чисельного інтегрування звичайних діференціальних рівнянь
- •5.1. Одноступінчати методи
- •5.1.1. Рішення за допомогою рядів Тейлора
- •5.1.2 Метод Ейлера
- •5.1.3. Модификований метод Ейлера
- •5.1.4. Метод Ейлера-Коши Мал. 5.3. Метод Ейлера- Коші
- •5.2. Багатоступінчати методи
- •6. Методи рішення лінейної крайової задачи
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Метод кінцевих різностей
- •6.3. Метод прогонки
- •6.4. Алгоритм рішення крайової задачі методом прогонки
5.1.2 Метод Ейлера
Хай дається рівнення (5.3), задовольняючє початковоі умові (5.4). Рішенням цього рівнення виявляється функція Y=Y(X), яка визначена на інтервалі [a,b]. Для інтегрування скористуємося (5.5), обмежавшись двома членами ряда:
Yi+1 = Yi+h.Yi' = Yi+h.f(Xi,Yi) (5.6)
Інтегрування за методом Ейлера міститься у послідовному застосуванні формули (5.6) до рівнення (5.3), починаючи з k=1. У присутньості початкової умови (5.4) для обчислення Y1 не потрібна додаткова інформація - достатньо обчислити праву частину (5.3) при заданих значеннях Xo та Yo.
Обчислення Y1 аналогічне проведенню дотичної в точці (Xo,Yo), тангенс кута нахилу якої задаїться правою частиною (3) при X=Xo, Y=Yo, до перети-нання з вертикальною прямою, проведенною із точки X=X1 (мал. 5.1). При наступньому кроці, тобто при обчисленні Y2, знов визнача’ться похідна, але вже у точці з координатами (X1, Y1). З цієї точки проводиться дотична до перетинання з прямою X=X2. Аналогічно повторюються обчислення для Y3, Y4,... .
При достатньо малой величини кроку h метод Ейлера дає рішення з достатньою точністью, тому що хиба рішення близька до h2 (h<<1) на кожному кроці інтегрування. До недоліків методу необхідно віднести сильну залежність одержаного рішення від величини кроку h та збільшення об'єму обчислень для досягнення задовільної точністі.
ПРИКЛАД.
Рівнення швидкості послідовно протікаючих реакцій
записується у слідуючому вигляді:
= K1*[Ao]*exp(-K1*t)-K2*[p] (5.7)
де [p]-концентрація речовини р на час t від початку реакції; К1=0.05 і К2=0.0065 - константи швидкостей першої та другої реакцій,відповідно,л/(моль*хв); [Ao] - початкова концентрація речовини А.
Знайти,чому будуть дорівнювати значення [p] через 1, 2, 3, 4 хв після початку реакції,
якщо при t=0 [p]=0, a [Ao]=1.
РІШЕННЯ: Позначим Y=[p], X=t.Тоді рівняння (5.7) після підстановки чиселних значень констант прийме вигляд:
= f(X,Y)=0.05*exp(-0.05*X)-0.0065*Y (5.8)
Результати обчислень заносимо у табл. 5.1.(заповняючи її по строчкам).Згідно з умовою
задачі крок h=1
Таблиця 5.1
Рішення рівняння (5.8) методом Ейлерa
i |
Xi |
Yi |
f(Xi, Yi) |
h*f(Xi, Yi) |
0 |
0 |
0 |
0.05 |
0.05 |
1 |
1 |
0.05 |
0.0473 |
0.0473 |
2 |
2 |
0.0973 |
0.0446 |
0.0446 |
3 |
3 |
0.0143 |
0.0421 |
0.0421 |
4 |
4 |
0.184 |
|
|
Вирішення задачі - сукупність значень Y(i=0,1,..,4).