1.2.2. Метод Ньютона (доточних)

Метод Ньютона вживають до рішення рівняння f(x)=0, де f(x) безперервно-диференціьована функція. Для початку обчислювань потребується завдання начального приближення x₀. Слідуючі приближення обчислюються по формулі

X_N+1=X_N- f(X_N)/ f '(X_N) , f '(X_N)0, n=0,1,2,3... (1.2)

Геометрично X_N+1 являється значенням абсциси точки перехрещення доточної до кривої у=f(х) у точці (x_N;f(x_N)) з осью абсцис, тому метод Ньютону називають також методом дотичних. Графічна інтерпрітація та блок-схема методу доточних (Ньютона) доведені на мал 1.3 та 1.4.

Мал 1.3. Графічна інтерпрітація методу доточних (Ньютона)

У якості навчального приближення треба вибирати ту кордонну точку інтервалу, для якої знак f(x) збігається зі знаком другої похидної. У противному виподку у якості наступного приближення можна получити значення аргументу, разтошоване за межою інтервалу [а;в], та може відбутися, що процес не буде сходящим.

ПРИКЛАД:

При розрахунку апарату однократно випаровування для розрахунку потребуємої температури необхідно визначити наступне рівняння:

0.01*Т³-4*Т²+180*Т+8160=0.

З

Мал 1.4. Блок-схема методу доточних (Ньютона)

фізичних зображень виходе, що іскома температура (корінь рівняння) знаходиться у інтервалі 330-360К. Визначити ії методом Ньютону з точністю Є=0.5К

Для розрахунку по (1.2) необхідно знайти першу похидну. Воно поравнена f '(x)=0.03*Т²-8*Т+180. Для вибору початкого приближення перевіримо знаки функції та її другої похидної. В точці x =360 f(x)=21120 >0, f ''(x) = 0.06*Т-8 = 3.6>0; відповідно, цю точку можна використовувати у якості навчального приближення.

Використовую(1.2) послідовно обчислюємо

x₁=x₀-(f(x₀)/f '(x₀))=360-(21120/1188)=342.22

x₂=x₁-(f(x₁)/f '(x₁))=342.22-(2093/955.7)=340.03 |x₂-x₁|>Є

x₃=x₂-(f(x₂)/f '(x₂))=340.03-(2909/928.4)=340 |x₃-x₂|<Є

відповідь: Т=340К

1.2.3. Метод хорд (сікучих)

У методі Ньютона на кожному кроці треба обчислювати значення функції та похидної. На практиці частіше використовують методи, які потребують обчислювання тільки значення функцій. Одним з таких методів являється метод хорд.

Цей метод заснован на допущені, що на досить малому відрізкі функція y=f(x) змінюється лінійно. Тоді криву y=f(x) на цьому відрізкі можна змінити хордою та у якості приближного значення корню прийняти точку перехрещення хорди з осью абсцис.

Графічна інтерпрітація та блок-схема методу доведені на мал. 1.5 та 1.6.

Мал 1.5. Графічна інтерпрітація методу сікучих

Проведемо пряму крізь точку з координатами (a, f(a) і b, f(b)), (де а та в –- конці інтервалу, які содержать корінь), знайдемо точку перехрещення цієї прямої з осью абсцис.

x₁=a-(f(a)/(f(b)-f(a))*(b-a)) (1.3)

Знайдене значення х₁ можна приймати за нову (ліву чі праву — в залежності від знаку f(x₁) кордону скорочуванного інтервалу. Знайшовши значення f(x₁) приближення відзначається виразом |x_N+1-x_N| <Є,

де Є - задана точність.

Ф

Мал 1.6. Блок-схема методу сікучих

ормула (1.3) описує метод сікучих в особливості для функцій, мающих невилику кривизну.

ПРИКЛАД.

Для визначення концентрацій компоненту на тарілці ректифікаційної колони необхідно вирішити наступне рівняння:

х³ - 0.4*x² + 0.9*x - 0.36 = 0

Іскома величина лежить у інтервалі (0.2;0.5). Визначити її з точністю Є=0.0005.

Обчислимо значення функції на кінцях інтервалу: f(0.2) = -0.188; f(0.5) = 0.115

По формулі (1.3) знайдемо значення х:

x₁=0.2 - = 0.386

Потім визначимо f(x). Так як f(x₁) = -0.015, то корінь рівняння лежить у інтервалі |0.386;0.5|. Знайдемо наступне приближення х₂:

x₂=0.386-= 0.399

Так як |х₂-х₁|>Є, то повторимо процедуру. Значення f(x₂)=-0.0011 та x₃=0.4.

Оскільки |х₃-х₂|<Є,то рішення знайдене. Відповід : х=0.4