- •Міністерство освіти україни
- •1.1. Відділення корней
- •1.2. Уточнення корней
- •1.2.1. Метод ділення відрізка наполовину
- •1.2.2. Метод Ньютона (доточних)
- •1.2.3. Метод хорд (сікучих)
- •1.2.4. Метод ітеграцій (метод послідовніх приближень)
- •2. Численне рішення систем лінійних алгебраічних рівнянь
- •2.1. Метод Крамера.
- •2.2. Метод Гаусса.
- •2.3 Блок-схема програми для рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса
- •2.4. Метод простій ітерації
- •2.5. Метод Зейделя
- •3. Обробка експериментальних даних
- •3.1. Задачі, які виникають при обробці експериментальних даних
- •3.2. Інтерполіровання
- •3.2.1. Інтерполіровання функцій
- •3.2.2 Зворотне інтерполіровання
- •3.3. Апроксимація
- •3.3.1. Вибір емпирічної формули. Метод вирівнювання
- •2) Розраховуваєм нові перемінні X та y та занесемо їх до табл. 3.1.
- •3.3.2.Визначення параметрів емпирічноі формули
- •3.3.2.1. Метод обраних точок
- •3.3.2.2. Метод середніх
- •3.3.2.3. Метод найменьших квадратів
- •4. Методи чиселього інтегрування
- •4.1. Метод трапецій
- •4.2. Метод Сімпсона
- •4.3. Оцінка точності формул чисельного інтегрування. Вибір кроку інтегрування
- •4.3.1. Вибір кроку інтегрування за оцінкою остаточного члена (помилки)
- •4.3.2. Вибір кроку інтегрування за допомогою подвійного перерахунку
- •5. Методи чисельного інтегрування звичайних діференціальних рівнянь
- •5.1. Одноступінчати методи
- •5.1.1. Рішення за допомогою рядів Тейлора
- •5.1.2 Метод Ейлера
- •5.1.3. Модификований метод Ейлера
- •5.1.4. Метод Ейлера-Коши Мал. 5.3. Метод Ейлера- Коші
- •5.2. Багатоступінчати методи
- •6. Методи рішення лінейної крайової задачи
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Метод кінцевих різностей
- •6.3. Метод прогонки
- •6.4. Алгоритм рішення крайової задачі методом прогонки
6. Методи рішення лінейної крайової задачи
ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДІФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
6.1. Постановка задачи
Нехай дано лінейнє діференціальнє рівняння (ЛДР) другого порядку
Y"+P(x)Y'+g(x)Y=f(x) (6.1)
де P(x),g(x),f(x)-відомі неперервні на відрізку [a,b] функції.
Лінейна крайова задача состоїть в знаходженні функції Y=Y(x), яка всередені відрізку [a,b] задоволняє рівнянню (6.1),а на його кінцях - лінейним крайовим умовам.
A0.Y(a)+A1.Y'(a)=A
B0.Y(a)+B1.Y'(a)=B (6.2)
де A0,A1,B0,B1-задані постійні,причому A0,A1,B0,B1 не дорівнюють одночасно нулю ().
Якщо A = B = 0, то крайові умови (6.2) називаються однорідними. Лінейна крайова задача називаїться однорідною,якщо однорідні діференціальне рівняння (6.1) (f(x)=0) і крайові умови (6.2).
Оскільки умови (6.2) повинні виконуватись в двох точках - на кінцях
інтервалу [a,b],їх називають двохточечними крайовими умовами, а крайову задачу - двохточечною крайовою задачею.
Точне рішення крайової задачи можливе в рідких випадках.Тому на практиці часто використовують приблизні методи рішення, які можна розбити на дві групи: а) аналітичні; б) різністні.
Роздивимося один із різністних методів – метод кінцевих різностей.
6.2. Метод кінцевих різностей
Одним із найбільш простих методів рішення лінейної крайової задачи(6.1-6.2) являїться зведення її до системи кінцево–різностних рівнянь.
Класичне знаходження похідної функції однієї змінної записується в виді:
dY Y(x+h)-Y(x)
-- = lim -----------
dX h
Звичайно, на ЕОМ ми не можемо провести граничного переходу. З другої
сторони, ми можемо надати h деяке мале хоч і ненульове значення і перевірити,
що приближення одержується досить точним(проблема точності) і що помилка не збільшуїться в ході процесу обчислювань (проблема утриманності).
Цей метод (кінцевих різностей) зводиться до того,що ми замінюїмо похідну
різністью.
Розіб'ємо відрізок [a,b]на n рівних частин довжиною h (шаг).
b-a
h= ---
n
Позначимо точки ділення відрізка [a,b] Xo=a;Xn=b; Xi=Xo+i.h(i=1,2,...,n-1);
Pi=P(Xi);Ji=J(Xi);fi=f(Xi);Yi=Y(Xi);Yi'=Y'(Xi);Yi"=Yi"(Xi).
Замінимо приблизно в кожній внутрішній точці Xi відрізка [a,b] похідні
Yi' і Yi" кінцево – різністні відношеннями.
Y’i =( Yi+1 - Yi ) / h ; Y’’ = (Yi+1 - 2Yi + Yi-1)/ h2 (6.3)
Для граничних точок Xo=a і Xn=b надамо:
Y’0 = (Y1 - Y0) / h ; Y’ = (Yn - Yn-1 )/ h (6.4)
Використовуючи формули (6.3) і (6.4), приблизно замінимо рівняння (6.1) і крайові умови (6.2) системою n+1 лінейних алгебраїчних рівнянь з n+1 невідомими Y0,Y1,Y2,...,Yn, які являють собою значення шуканої функції Y=Y(x) в точках X0,X1,X2,...,Xn:
(Yi+2 - 2Yi+1 + Yi) / h2 + Pi( Yi+1 - Yi ) / h + gi.Yi=Fi;
( i=0,1,2,...,n-2)
A0.Y0+A1 (Y1 - Y0) / h =A; B0.Yn+B1(Yn - Yn-1 )/ h =B; (6.5)
Розв'язавши цю систему, можна одержати таблицю приблизних значень
шуканої функції Y=Y(x).
На практиці часто похідні Yi' і Yi" в внутрішніх точках Xi відрізка
[a,b] замінюють центрально – різностними відношеннями:
Y’i = (Yi+1 - Yi-1) /2h ; Y’’ = (Yi+1 - 2Yi + Yi-1)/ h2 (6.6)
а для граничних точок Xo=a і Xn=b також справжні формули (6.4). Тоді система
рівнянь для находження Y0,Y1,Y2,...,Yn, приймаєвид:
(Yi+2 - 2Yi+1 + Yi) / h2 + Pi( Yi+1 - Yi-1 ) / 2h + gi.Yi=Fi;
( i=1,2,...,n-1)
A0.Y0+A1 (Y1 - Y0) / h =A; B0.Yn+B1(Yn - Yn-1 )/ h =B; (6.7)
Для оцінки похибки метода кінцевих різниць на практиці часто використовують слідуючий приблизний вираз:
Yi-Y(Xi)=1/3[Yi(6.8) -Yi] (6.8)
де Y(xi)-значення точного рішення крайової задачи в точці X=Xi;
Yi -значення приблизногорішення,обчисленного в точці X=Xi з кроком h ;
Yi-значення приблизного рішення,обчисленного в точці X=Xi з кроком h/2;
Щоб знайти приблизне рішення крайової задачи з заданною точністю
E, необхідно провести обчислювання з кроком h і h/2 b зрівняти полученні
результати. Якщо [Yi-Yi]<3.E, то, з цього випливаї,[ Yi-Y(Xi)]<E і значення
Yi(i=1,2,...,n) можна прийняти за рівняння краївої задачи.