- •Міністерство освіти україни
- •1.1. Відділення корней
- •1.2. Уточнення корней
- •1.2.1. Метод ділення відрізка наполовину
- •1.2.2. Метод Ньютона (доточних)
- •1.2.3. Метод хорд (сікучих)
- •1.2.4. Метод ітеграцій (метод послідовніх приближень)
- •2. Численне рішення систем лінійних алгебраічних рівнянь
- •2.1. Метод Крамера.
- •2.2. Метод Гаусса.
- •2.3 Блок-схема програми для рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса
- •2.4. Метод простій ітерації
- •2.5. Метод Зейделя
- •3. Обробка експериментальних даних
- •3.1. Задачі, які виникають при обробці експериментальних даних
- •3.2. Інтерполіровання
- •3.2.1. Інтерполіровання функцій
- •3.2.2 Зворотне інтерполіровання
- •3.3. Апроксимація
- •3.3.1. Вибір емпирічної формули. Метод вирівнювання
- •2) Розраховуваєм нові перемінні X та y та занесемо їх до табл. 3.1.
- •3.3.2.Визначення параметрів емпирічноі формули
- •3.3.2.1. Метод обраних точок
- •3.3.2.2. Метод середніх
- •3.3.2.3. Метод найменьших квадратів
- •4. Методи чиселього інтегрування
- •4.1. Метод трапецій
- •4.2. Метод Сімпсона
- •4.3. Оцінка точності формул чисельного інтегрування. Вибір кроку інтегрування
- •4.3.1. Вибір кроку інтегрування за оцінкою остаточного члена (помилки)
- •4.3.2. Вибір кроку інтегрування за допомогою подвійного перерахунку
- •5. Методи чисельного інтегрування звичайних діференціальних рівнянь
- •5.1. Одноступінчати методи
- •5.1.1. Рішення за допомогою рядів Тейлора
- •5.1.2 Метод Ейлера
- •5.1.3. Модификований метод Ейлера
- •5.1.4. Метод Ейлера-Коши Мал. 5.3. Метод Ейлера- Коші
- •5.2. Багатоступінчати методи
- •6. Методи рішення лінейної крайової задачи
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Метод кінцевих різностей
- •6.3. Метод прогонки
- •6.4. Алгоритм рішення крайової задачі методом прогонки
1.2.4. Метод ітеграцій (метод послідовніх приближень)
Одним з найбільш разповсюджених методів уточнення корней рівняння при рішенні завдання хімічної технології являється ітераційний метод чи метод послідовних приближень.
Метод простої ітерації використовується для рішення нелінійного рівняння з виділиним лінійним членом вигляду
x=U(x) (1.4)
та полягає у побудуванні послідовності х , починая з деякого заданого навчального значення х, за правилом
xn+1=U(Xn) , n = 0,1,2,3.... (1.5)
Якщо U(x) - непреривна функція, а Xn- сходяща послідовність, то значення
x*=lim (xn)
n
являється рішенням рівняння (1.4)
Побудування декільких послідовних приближень по (1.5) доведено на
мал. 1.7
Перетворення рівняння з метою виділення лінійного члена можна провести різними шляхами. Наприклад, якщо f(x)=x2-c=0, то можна:
а) додати до правоі чи лівої частини х: x=x2+x-c
б) поділити усе вираження на х: х=с/х і т.п.
Умови збіжності. Якщо |U'(x)|<1 , то процес сходиться, якщо ж |U'(x)|>1,
то розходиться. Нерівність треба виконувати для усіх х, обчіслюванних у ході рішення завдань.
Збіжність методу ітерацій залежить від вибору вигляда рівняння з виділе-ним лінійним членом. При невдачному виборі можна получити розходящий процес.
Мал.1.7.
Графічна інтерпрітація методу ітерацій.
ПРИКЛАД:
Для визначення оптимальної концентрації компоненту у реакторі необхідно вирішити рівняння: x3+x=1000. З дослідних даних маємо, що іскома величина знаходиться у межах [9;10]. Уточнити корінь рівняння з точністю Є=Е-4.
Вихідне рівняння можна записати у вигляді:
x3=1000-x (a) чи x=(1000-x)1/3 (б).
Проналізуємо отримане рівняння. Рівняння (а) не підходить, т.я. |U’(x)| = |-2x 3| > 1. Для рівняння (б)
U'(x)=< 1
Обчислюємо послідовні приближення Xn по формулі
Yn = 1000 - Xn ; Xn+1= (Yn) 1/3 (n=0,1,2,3...).
Знайдені значення (обчисленні з одним запасним знаком) доведені у табл.
n |
Xn |
Yn |
0 |
10 |
990 |
1 |
9.96655 |
990.03345 |
2 |
9.96666 |
990.03334 |
3 |
9.96667 |
|
Виходячи з того, що |X3-X2|<Є , можна прийняти х = 9.96667
2. Численне рішення систем лінійних алгебраічних рівнянь
Хай дана система N лінійних алгебраічних рівнянь з N невідомими
a11*x1 + a12*x2 +.....+ a1N*xN = b1
(2.1)
a21*x1 + a22*x2 +.....+ a2N*xN = b2
...................................
aN1*x1 + aN2*x2 +.....+ aNN*xN = bNN
чи у матричному вигляді
AX=b (2.2)
де
А = (aij) = - матриця коефіцієнтів,
, - стовпець вільних членів та стовпець невідомих відповідно.
Коефіцієнти системи (2.1) характеризуються двома індексами. Перший індекс – і визначає номер строки, другий – j – номер стовпця.
Рішення системи (2.1) визначає знаходження таких значень невідомих, при підстановці яких у ісходну систему кожне з рівнянь перетворюється у тотожність.
Якщо матриця A неособлива , то
¦ a11 a12 .....a1N¦
¦ ¦
¦ a21 a22 .....a2N¦
detA = ¦ ................... ¦ 0
¦ aN1 aN2.....aNN¦
то система (2.1) має одиничне рішення.
Способи рішення систем лінійних рівнянь (СЛУ) у основному ділять ся на дві групи .
1. Точні методи, які уявляють собою кінцеві алгоритми для обчислюван ня корней системи (правило Крамера, метод Гауса, метод головних елементів, метод квадратних корней та інші ).
2. Ітераційні методи, які дозволяють одержувати корні системи з заданою точністю шляхом сходящих безконечних процесів (метод ітерацій, метод Зейделя, метод релаксаціє).