3.3.2.3. Метод найменьших квадратів

Емпирічна формула в загальному вигляді може бути записана так:

Y_і=F(x_i, A_j)

де x_i - незалежні підставні;

A_j - коефіцієнт емпирічноі залежності.

Згідно з методом найменьших квадратів найкращими коефіцієнтами у смислі приближення до експериментальних даних (y_i=f(x_i)), будуть коефіцієнти, відшукані з умови

min[R(A_j)] = ² (i = 1, 2, ..., n; j = 0, 1,..., m) (12)

тобто мінімума суми квадратів відхилень між експериментальними та розрахунковими значеннями.

При фіксованих значеннях x функція R(A_j) є позитивно визначеною (заданою та безперервою у інервалі [x₁,x_n]) функціею і, звичайно, має екстремум. Необхідною умовою для існування екстремума функціі декількох підставних є рівність нулю часних похідних по кожній підставній.

Нехай емпирічна формула має вигляд:

F(x_i,A _j) = a₀+a₁.x_i+a₂.x_i²+...+a_m.x_i^m

Тоді вираз (12) можна записати так:

R(A_j) =a₀+a₁.x_i+a₂.x_i²+...+a_m.x_i^m - y_i)² (13)

Знайдемо часні похідні функціі R(a₀, a₁,...,a_m) по a₀, a₁,...,a_m та прирівнюємо їх до нуля. Отримаємо так звану нормальну систему m+1 рівнянь з m+1 невідомими a₀, a₁,...,a_m:

= 2 a₀+a₁.x_i+a₂.x_i²+...+a_m.x_i^m - y_i). 1 = 0;

= 2 a₀+a₁.x_i+a₂.x_i²+...+a_m.x_i^m - y_i). x_i = 0; (14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=2 a₀+a₁.x_i+a₂.x_i²+...+a_m.x_i^m - y_i). x_i ^m= 0;

Вирішивши систему відомими методами (формули Крамера, метод Гауса та інші), знайдемо коефіцієнти a₀, a₁,..., a_m формули (12), яка буде мати найменьше квадратичне відхилення R(A_j).

На практиці, як правило, при визначенні коефіцієтів з використанням метода

найменьших квадратів будь-яку емпирічну залежність доцільно привести до лінійного виду. Розгянемо отримання системи нормальних рівнянь для цього випадку.

Потрібно визначити коефіцієнти емпирічноі формули

F(x_i,A_j) = a₀+a₁.x_i (15)

Тоді вираз (13) буде мати вигляд:\

R(x_i,A_j) = a₀ + a₁.x_i - y_i)² (16)

Нормальна система для визначення a₀ та a₁ буде мати такий вигляд:

= 2 a₀+a₁.x_i- y_i). 1 = 0;

= 2 a₀+a₁.x_i - y_i). x_i = 0;

Зробивши прості перетворення, маємо:

a₀.n + a₁=

a₀+ a₁² =(17)

Вирішив систему (17), отримаємо значення a₀ та a₁. Підставив іх у формулу (15), отримаємо конкретний вид емпирічноі формули.

4. Методи чиселього інтегрування

Чисельне інтегрування - це обчислення визначеного інтеграла по ряду чисельних значень підінтегральної функції.

Потрібно обчислити визначений інтеграл

І =(4.1)

за умовою, що a і b - кінцеві та f(x) виявляється безперервною функцією Х на усьому інтервалі a<=X<=b.

Загальний підхід до рішення задачі такий. Визначений інтеграл I являє собою площу, обмеженную кривою f(x), вісью Х та ординатами у точках X=a і X=b.

Ми будемо обчислювати I, розбиваючи інтервал від a до b на безліч менших інтервалів, находити приблизно площу кожної "смуги", яка виходить при такому роздрібленні та підсумовувати площі цих смуг.

Чим менше інтервал роздріблення тим точніше буде обчислена інтервальна сума. Проте при цьому значно побільшиться кількість обчислень. Тому на практиці доводиться обмежуватись кінцевим роздрібленням інтервала інтегрування функції, допускаючи при цьому деяку помилку.

Різноманітність методів чисельного інтегрування обумовлено стратегією вибора точок роздріблення, забезпечуваючого у кожному конкретному випадку мінімально можливу помилку. Можливі два способа вибору точок роздріблення вихідного інтервала. Перший спосіб - число інтервалів фіксують заздалегіть, другий - число та розміри інтервалів визначаються у процесі обчислення інтервала виходячи з вимог заданої точності. В обох випадках вихідна функція на кожному інтервалі апроксимується відповідно залежності, наприклад, лінійноі або квадратичноі.