4.3.1. Вибір кроку інтегрування за оцінкою остаточного члена (помилки)

Відповідно обчислити оцінку помилки можливо слідуючим спосібом. Необхідно

одержати точне значення інтервала та порівняти з приблизним, обчисленим за відповідною формулою. Хибу формули доцільно оцінювати, використовуя слідуючу, більш високу ступінь підінтегральної функції, чим та, для которої вона надає точне значення інтеграла. Для формул прямокутників та трапецій це буде функція вида Y=X² ; для формул Сімпсона- Y=X⁴ и т.п.

Після того, як оцінка значення помилки (R), крок інтегрування вибирається так, щоб виконувалась слідуюча нерівність:

|Rmax| < 0,5Є (4.7)

де |Rmax| максимальне значення остаточного члена.

Відповідно, розмір крока h повинен вибиратися так, щоб при максимальному значенні похідної виконувалась приведена умова (4.7):

Для формул трапецій:

0,5 Є > |Rmax| = (max |Y"(X)| / 12)*|b-a|*h² (4.8)

Для формули Сімпсона:

0,5 Є > |Rmax| = (max |Y""(X)| / 180)*|b-a|*h⁴ (4.9)

4.3.2. Вибір кроку інтегрування за допомогою подвійного перерахунку

Тому що визначеня кроку інтегрування за розміром остаточного члена зводить к громіздким обчисленням, можливо використати слідуючий прийом.

За вибраною формулою (методом) інтеграл обчислюється два рази: спочатку з якимось кроком h, а потім з кроком h/2, тобто подвоюють число n. Позначим наслідок обчислень як S_n і S_2n та порівняєм їх.

Якщо |S_n-S_2n| < Є, де Є - допустима хиба, то вважають, що S_n=S_2n. Якщо |S_n-S_2n| > Є, тоді розрахунок повторюють з кроком h/4 та порівнюють |S_2n-S_4n| і т.п.

У ролі початкового кроку можливо рекомендувати

h=

де: n=2 - для формули трапецій

n=4 - для формули Сімпсона.

ПРИКЛАД.

За допомогою формули Сімпсона обчислити з точністю е = 10^–2 .

Визначим: h=

При використанні формули Сімпсона число частин n повинно бути парним , т.є.відрізок []треба розбити на парне число рівних частин .

  n = 0.8  n = 3 нам не подходить вибираємо парне значення n= 4.

Тоді : h = ==

Перевіряємо :   n

in	i 2n	xi	xi (рад)	sin x i	y0,y2n	y2i+1	y2i
0	0	 /4	0.7854	0.7071	0.9003
	1	9/32	0.8836	0.7735		0.8754
1	2	10/32	0.9817	0.8323			0.8478
	3	11/32	1.0799	0.8816		0.8164
2	4	12/32	1.1781	0.9239			0.7842
	5	13 /32	1.2763	0.9572		0.7500
3	6	14/32	1.3744	0.9805
	7	15/32	1.4726	0.9951		0.6757	0.7134
4	8	16 / 32	1.5708	1.00	0.6366

Примітка : sin x можна знайти, якщо перевести значення  у градуси або в радіани.

1.Для переведення у градуси : 180 ⁰ ;= 45⁰ ;= 11⁰15^’

2.Для переведення у радіани := 3.1416 ;= 3.1416 / 4 = 0.7854…

По формулі Сімпсона при n = 4і h = знаходимо :

 [ (y₀+y₄) + 4 (y₁+y₃) + 2y₂ ] = [ ( 0.9003 + 0.6366 ) + 4 (0.8478 + 0.7134 ) + 20.7842 ] =

= 0.0654 ( 1.5369 + 6.2448 + 1.5684 ) = 0.61196.

Тепер проведемо розрахунок приn= 8таh=

По формулі Сімпсона при ціх значеннях отримаємо:

 [ (0.9003 + 0.6366 ) + 4( 0.8754 + 0.8164 + 0.6757 ) + 2(0.8478 +0.7842 + 0.7134 ) ] = 0.0982  (1.5369 + 12.47 + 4.6908 ) = 0.61188.

Визначимо

S_n –S_2n  = 0.61196 – 0.61188 = 0.00008  10^-2 / 2.

Таким чином, значення інтеграла дорівнює

= 0.612.