30

5 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Если на ЛЭЦ подается негармонический, но периодический сигнал f(t), то, разложив его в ряд Фурье, а затем применив метод наложения, можно найти отклик цепи.

Рассмотрим случай, когда воздействие f(t) на цепь – непериодическая функция и разложить ее в ряд Фурье невозможно. В этом случае будем использовать для определения отклика ЛЭЦ на негармонический непериодический сигнал не ряд Фурье, а интеграл Фурье.

К интегралу Фурье можно перейти от ряда Фурье в комплексной форме.

5.1 Представление колебания в виде ряда Фурье в комплексной форме

Для перехода от ряда Фурье (4.7) к его комплексной форме используем формулу Эйлера, на основании которой можно выразить

где (ak – jbk) является комплексным числом в алгебраической форме. Обозначим это число через A&mk и назовем комплексной амплитудой

Таким образом, выражение (5.3) можно переписать в виде

В этом выражении: слева – функция вещественного переменного f(t), а справа – сумма комплексных чисел (комплексных амплитуд A&mk ).

Выражение (5.5) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме,

причем постоянная составляющая a20 также находится под знаком суммы, так

как суммирование производится в пределах от (– ∞) до ∞. Однако никакого противоречия в этом нет, поскольку каждая пара сопряженных комплексных

33

В выражении (5.13) пределы интегрирования сокращены, поскольку в иных

Для получения выражений АЧС и ФЧС необходимо представить (2.35) в показательной форме, т. е. выделить из (5.13) модуль и аргумент. Для этого выполним некоторые математические преобразования:

по которому построим ФЧС для u(t).

Для построения АЧС выделим те значения частот ω, на которых F(ω) = 0,

так как в выражение (5.15) входит функция sin ω2tи .

При ω2tи = kπ, где k = 0; ±1; ±2;…, U(kπ) = 0. При этом частота ω принимает следующие значения:

В промежутках между своими нулевыми значениями модуль F(ω) изменяется по синусоидальному закону согласно (5.15), причем, с ростом частоты ω, что видно из того же выражения (5.15), величина модуля F(ω) уменьшается.

На рис. 5.3 изображен АЧС видеоимпульса напряжения u(t). Можно показать, что несмотря на то что АЧС является бесконечным при ω → ∞, 90 % всей энергии сигнала u(t) сосредоточено в первом „лепестке” АЧС.

34

U(ω)

Utи

Рисунок 5.3 – Спектр амплитуд (а) и спектр фаз (б) видеоимпульса

Анализируя АЧС (рис. 5.3 ,а), замечаем, что чем меньше длительность П- импульса (tи), тем шире „лепестки” АЧС, т. е. для своего прохождения по каналам связи напряжению u(t) понадобится более широкая полоса частот.

И, наоборот, при увеличении tи АЧС будет сжиматься по частоте.

Построение ФЧС (рис. 5.3, б) осуществляем согласно (5.16), причем на

характерных частотах ω= 2kπ не происходит нарастания фазы более, чем на π, tи

так как в модуле U(ω) функция sin ω2tи взята по абсолютной величине, а ее

отрицательные значения учитываются при построении ФЧС.

Продолжим анализ двойного интеграла Фурье (5.9). Внутренний интеграл по времени в этом выражении назван спектральной плотностью сигнала f(t) и является прямым преобразованием Фурье (5.9).

При подстановке (5.10) в выражение (5.9) получим формулу обратного преобразования Фурье

Используя обратное преобразование Фурье (5.18), можно по спектральной плотности сигнала получить сам сигнал f(t).