35
5.3 Основные теоремы о спектрах сигналов
Как было установлено в 5.2, между сигналом f(t) и его спектральной плотностью F(jω) существуют связи, определяемые преобразованиями Фурье (5.10) и (5.18). Поскольку в процессе передачи сигнала он подвергается различным преобразованиям, очень важно установить, как при этом изменяется его спектральная плотность. Это имеет большое значение с точки зрения выбора оптимальных методов передачи, приема и требований к параметрам канала связи.
Рассмотрим основные теоремы о спектрах сигналов. 1 Теорема о сумме (теорема линейности)
Если сигналу f1(t) соответствует спектральная плотность F1(jω), а сигналу f2(t) соответствует спектральная плотность F2(jω), то алгебраической сумме этих сигналов соответствует алгебраическая сумма спектральных плотностей, т. е.
f1 (t) ± f2 (t) F1 ( jω) ± F2 ( jω). |
|
(5.19) |
|||
Доказательством |
этой |
теоремы |
служит |
линейность |
прямого |
преобразования Фурье.
2 Теорема о запаздывании (о сдвиге во времени)
Если сигналу f(t) соответствует спектральная плотность F(jω), то такому же по форме сигналу, но опаздывающему на время t0, соответствует следующая спектральная плотность:
f (t −t0 ) F( jω)e− jωt0 . |
(5.20) |
Из (5.20) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала во времени его АЧС не изменяется, а ФЧС изменяется пропорционально ωt0. Этот вывод учитывается в тех случаях, когда возникает необходимость осуществлять задержку сигнала.
3 Теорема подобия (о сжатии сигнала)
Если сигналу f(t) соответствует спектральная плотность F(jω), то
подобный ему сигнал f(αt) имеет следующую спектральную плотность: |
|
||||
|
1 |
|
jω |
|
|
f (αt) |
α |
F |
|
, |
(5.21) |
|
|||||
|
|
α |
|
||
где α – коэффициент подобия (т. е. мера изменения величины переменного
t).
Из (5.21) следует, что сжатие сигнала во времени приводит к расширению его спектра, что наглядно было показано на рис. 5.3 для одиночного П- импульса напряжения.
4 Теорема о производной (о дифференцировании сигнала)
Если F(0) = 0, то при дифференцировании сигнала f(t) его спектральная
плотность F(jω) умножается на оператор jω: |
|
||
|
d |
f (t) jωF( jω). |
(5.22) |
|
dt |
||
|
|
|
|
36
5 Теорема об интеграле
Если F(0) = 0, то при интегрировании сигнала плотность F(jω) делится на оператор jω:
∞ |
1 |
|
|
∫ f (t)dt |
F( jω). |
||
jω |
|||
−∞ |
|
f(t) его спектральная
(5.23)
Доказательство (5.22) и (5.23) следует непосредственно из прямого и обратного преобразований Фурье.
6 Теорема об умножении спектров (теорема о спектре свертки)
Если имеются сигналы f1(t) со спектром F1(jω) и f2(t) со спектром F2(jω), то сверткой f(t) этих двух сигналов называется интеграл
∞ |
|
f (t) = ∫ f1 (t) f2 (τ −t)dt F1 ( jω)F2 ( jω). |
(5.24) |
−∞
Рассматриваемая теорема заключается в том, что необходимо найти спектр сигнала f(t), т. е. спектр этих двух сворачиваемых сигналов (спектр свертки).
5.4 Алгоритм расчета отклика линейной электрической цепи при непериодических воздействиях
В случае воздействия на ЛЭЦ непериодического сигнала f1(t) определение отклика цепи f2(t) на такой сигнал осуществляется в следующей последовательности:
1)определяется спектральная плотность сигнала f1(t), воздействующего на данную ЛЭЦ, используется при этом прямое преобразование Фурье (5.10);
2)определяется комплексная передаточная функция цепи H(jω);
3) |
исходя |
из определения комплексной |
передаточной |
|
функции |
||||||||
H ( jω) = |
F2 ( jω) |
|
, определяется спектральная плотность отклика цепи F2(jω): |
||||||||||
F ( jω) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j[arg H (jω)+arg F1(jω)] |
|
|
|
|
F2 ( jω) = H ( jω)F1 ( jω) = |
|
H ( jω) |
|
F1 ( jω) |
|
e |
. |
(5.25) |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
В выражении (5.25) произведение модулей комплексной передаточной функции и спектральной плотности воздействия f1(t) представляет собой АЧС отклика цепи f2(t); сумма аргументов комплексной передаточной функции и спектральной плотности воздействия f1(t) представляет собой ФЧС отклика f2(t). Если этих величин оказывается недостаточно для характеристики отклика цепи, то по обратному преобразованию Фурье (5.18) находится временнóе представление отклика f2(t):
f2 (t) = 21π ∞∫F2 ( jω)e jωt dω.
−∞