17

Запишем сопротивление цепи рис. 2.8, а в комплексной форме:

получить выражение для резонансной частоты. Предлагаем завершить выкладки самостоятельно.

3 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

При использовании символического метода расчета цепей пассивная двухполюсная цепь ( 2 ×1) определяется одним параметром – комплексным сопротивлением Ζ (Impedance) или обратной функцией – комплексной проводимостью Y (Admitance). Зачастую обе функции объединяют (Z, Y – Immitance).

3.1 Виды соответствия двухполюсников

При рассмотрении различных схем и соединений двухполюсников можно выделить несколько видов соответствия между их параметрами (Z, Y). Двухполюсники могут быть: подобными, обратными, эквивалентными, дополняющими.

Подобными являются двухполюсники, у которых:

Z2 = a Z1 или Y2 = 1a Y1

(а = const, не зависит от частоты).

Например: два резистора с разными величинами R, две индуктивности, две емкости (с разными величинами L и C соответственно), два колебательных контура с одинаковыми видами резонанса, настроенных на одну частоту. При этом в одном из них индуктивность в а раз больше, а емкость в а раз меньше, чем в другом.

Обратными являются двухполюсники, у которых:

Z1 Z2 = R2 и Y1 Y2 = G2

(R и G – постоянные величины, не зависят от ω). Пример 1 Сопротивление индуктивности и емкости:

18

ZL = jωL , ZC = jω1C , ZL ZC = jωL jω1C = CL =ρ2 .

Пример 2

Простой последовательный колебательный контур (L1, C1) и параллельный (L2, C2). Резонансные частоты этих контуров совпадают. Предлагаем самостоятельно решить этот пример.

Следует заметить, что двухполюсники, которые являются дуальными, всегда будут обратными.

Пример 3 Схемы рис. 3.1 являются дуальными потенциально-обратными, а при

условии, что

L1 = R1 = R2 , C2 G2

они будут обратными. Это утверждение предлагаем доказать самостоятельно.

Рисунок 3.1 – Схемы обратных двухполюсников: а – исходная; б – обратная

Эквивалентными являются двухполюсники, у которых

Z1 = Z2 (Y1 = Y2 ) .

Они могут заменить друг друга, не изменив характеристики цепи, с которой соединены. Эквивалентность может иметь место на одной частоте, в диапазоне частот или во всем диапазоне от нуля до бесконечности.

Пример. Цепь имеет вид рис. 3.2, а. Определим условия, при которых цепь рис. 3.2, а и б будут эквивалентны. Для этого необходимо определить значения коэффициентов подобия b, k, d на рис. 3.2, б.

21

ω → ∞) равны или 0 или ∞. Продолжив рассмотрение схем с большим числом элементов, убеждаемся в том, что эта закономерность сохраняется. Поэтому все реактивные двухполюсники можно представить в виде четырех классов. Критерием отличия является величина сопротивления Z(ω) на краях частотного диапазона (ω = 0 и ω = ∞). В табл. 3.2 представлены четыре вида, класса, а также расположение нулей и полюсов их сопротивлений (характеристическая строка). Нумерация классов не производится умышленно, так как в разных учебниках она не совпадает. Из таблицы видно, что нули и полюсы чередуются.

Таблица 3.2 – Классы двухполюсников

Сопротивление реактивного двухполюсника можно записать в виде дроби. В зависимости от класса реактивности формулы будут иметь вид:

22

Эти формулы носят название формул Фостера. Значение частоты ω, при которой числитель обращается в нуль, соответствует нулям функции Z (резонансы напряжений), а значение частоты ω в круглых скобках знаменателя при которых это выражение обращается в ∞, соответствует полюсам функции Z (резонансы токов). В зависимости от класса реактивности сомножитель [jω] может быть записан в числителе или в знаменателе. Если характер двухполюсника в начале частотного диапазона (ω0 = 0) – индуктивный (характеристическая строка начинается с 0), то сомножители jω в формуле (3.1) записываем в числителе. Если характер двухполюсника в начале частотного диапазона (ω0 = 0) – емкостный (характеристическая строка начинается с (×) полюса), то сомножитель jω в формуле (3.1) записывается в знаменателе. Коэффициент HL или HC имеет размерность индуктивности (HL) или емкости (HC) в зависимости от характера двухполюсника на частоте ω → ∞. Если характер реактивного двухполюсника индуктивный (при ω → ∞ над осью), то HL записывается в числителе, а если емкостный, то в знаменателе – HC . Так как HL и HC – эквивалентные индуктивности или емкости соответственно, то H > 0.

Синтез реактивных двухполюсников

Задача синтеза реактивных двухполюсников заключается в том, чтобы по заданной частотной характеристике Z(jω) найти схему. Характеристика задана известными нулями, полюсами и величиной HL или HC.

Если заданы частоты ω1, ω3, …, ω2, ω4, HL для двухполюсника класса ∞…∞, то формула Z (3.1) записывается в виде

Разложив данную функцию на простые дроби, можем получить ряд простых дробей:

Сумма дробей (3.2) соответствует последовательному соединению индуктивности, емкости и параллельных LC контуров, причем число этих

23

контуров совпадает с числом внутренних полюсов функции Z (резонансы токов). Таким образом, схема принимает вид рис. 3.5, а.

Если заданы частоты для двухполюсников других классов, то, записав выражение Z(jω) для соответствующего класса реактивности и проделав разложение, приходим к схеме, соответствующей данному классу. На рис. 3.5 изображены схемы четырех классов двухполюсников.

г)

Рисунок 3.5 – Канонические схемы из параллельных контуров для классов:

а – (∞…∞); б – (0…∞); в – (∞…0); г – (0…0)

Вместо функции сопротивления Z можно разложить на простые дроби обратную функцию Y – проводимость. Так как проводимость есть сумма проводимостей при параллельном соединении элементов, то схемы четырех классов при синтезе путем разложения функции входной проводимости на простые дроби будут выглядеть так, как на рис. 3.6.

24

Рисунок 3.6 – Канонические схемы из последовательных контуров класса:

а – (∞…∞); б – (0…∞); в – (∞…0); г – (0…0)

Следует заметить, что число последовательных контуров при таком синтезе совпадает с числом внутренних нулей функции Z (резонансы напряжений). Синтез путем разложения на простые дроби получил название

синтеза по Фостеру.

Существует способ разложения функции Z или Y в непрерывную дробь [1]. В этом случае схемы имеют вид лестничной структуры. Такой синтез в литературе носит название синтеза по Кауэру. Вид схем при таком синтезе показан на рис. 3.7.

Схемы, представленные на рисунках 3.5…3.7, имеющие определенные правила построения (цепочечные рис. 3.5 и 3.6; лестничные рис. 3.7), называются каноническими. В канонической схеме нет „лишних” элементов. Если в канонической схеме удалить один из элементов, то это приведет к изменению класса реактивности, общего количества нулей и полюсов, к изменению частотной характеристики. В канонической схеме имеется строгая зависимость между количеством элементов и количеством нулей и полюсов. Число элементов всегда на единицу больше числа „внутренних” (резонансных) нулей и полюсов.