26
4 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
В процессе передачи сигналов по каналам связи часто используются негармонические колебания. Эти колебания могут быть как периодическими сигналами, так и непериодическими.
Сущность частотного метода анализа электрических цепей – определение отклика ЛЭЦ при негармоническом воздействии. В основе частотного метода лежат спектральные представления сигналов, базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье. В качестве переменной используется частота.
4.1 Разложение периодических сигналов в ряд Фурье
|
f(t) |
|
Пусть |
на некоторую ЛЭЦ |
||
A |
|
|
поступает периодическое негар- |
|||
|
|
моническое |
воздействие |
f(t) |
||
|
|
|
||||
|
|
|
(рис. 4.1, где Т – период |
|||
|
|
|
воздействия, tи – длительность |
|||
0 |
tи |
t |
П-импульса, A – размах (высота) |
|||
|
|
|
П-импульса). |
|
|
|
|
T |
|
Из математического анализа |
|||
Рисунок 4.1 – Периодические колебания |
известно, |
что |
периодическая |
|||
|
в виде серии П-импульсов |
|
негармоническая |
функция |
(в |
|
|
|
|
данном случае |
– воздействие |
||
f(t)), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:
f (t) = |
a0 |
+ ∑∞ (ak cos kω1t + bk sin kω1t) |
(4.1) |
||
|
|||||
2 |
k=1 |
|
|
|
|
где k – номер гармоники; ω1 – частота первой гармоники (k |
= 1): |
||||
|
|
ω = |
2π |
. |
(4.2) |
|
|
|
|||
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициенты ak, bk определяются как
2 T
ak = T ∫0 f (t)coskω1tdt ;
2 T
bk = T ∫0 f (t)sinkω1tdt .
Постоянная составляющая представляет собой среднее за период Т значение функции f(t):
a |
k |
|
|
1 T |
|
||
|
= |
|
|
∫ f (t)dt . |
(4.3) |
||
2 |
T |
||||||
|
0 |
|
|||||
Однако для определения отклика цепи на негармоническое воздействие f(t) используют другую форму ряда Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
||
f (t) = А0 + ∑Amk sin(kω1t + ϕk ), |
(4.4) |
|||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|||
которая связана с рядом Фурье (4.1) следующими соотношениями: |
|
|||||||
A |
= a2 |
+ b2 |
; |
(4.5) |
||||
mk |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
ϕk |
= arctg |
bk |
; |
|
(4.6) |
|||
ak |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A = |
a0 |
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
где Amk – амплитуда k-той гармоники; φk – начальная фаза k-той гармоники; А0 – постоянная составляющая воздействия f(t).
Амплитуды всех гармоник (Amk) вместе с постоянной составляющей (А0) образуют амплитудно-частотный спектр (АЧС).
Начальные фазы всех гармоник (φk) разложения образуют фазочастотный спектр (ФЧС).
Спектры (АЧС и ФЧС) периодических негармонических сигналов являются линейчатыми, или дискретными.
В качестве примера разложения сигнала в ряд Фурье рассмотрим периодическую последовательность П-импульсов (см. рис. 4.1).
На интервале времени 0 ≤ t ≤ tи сигнал f(t) имеет значение А, на интервале времени tи ≤ t ≤ Т сигнал f(t) равен нулю, – а затем все это повторяется.
Используя формулы (4.2) и (4.3), определим коэффициенты ряда Фурье
(4.1):
|
|
|
|
2 tи |
|
|
2A |
|
tи |
|
A |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ak |
= |
|
∫Acoskω1tdt = |
|
sin kω1t |
0 = |
|
|
sin kω1tи ; |
||||||||
|
T |
Tkω |
kπ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tи |
|
|
2A |
|
|
|
tи |
|
|
A |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
bk = |
|
|
|
∫Asinkω1tdt |
= |
|
(−cos kω1t) |
0 |
= |
|
(1 − cos kω1tи ; |
||||||
|
T |
|
Tkω |
kπ |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a0 |
|
|
1 |
t |
Atи |
|
|
= |
∫и Adt = |
. |
|||||
2 |
T |
|
|||||
|
0 |
T |
|||||
(4.7)
(4.8)
(4.9)
|
Используя формулы (4.5)…(4.9), рассчитаем постоянную составляющую |
||||||||||||||||||||||
А0, амплитуды гармоник Amk и начальные фазы φk гармоник. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
a0 |
= |
Atи |
= |
A |
; |
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
T |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
= a2 +b2 |
= A |
sin2 kω t |
+ (1 |
−coskω t |
)2 = 2Asin kω1tи |
= 2Asin k π ; (4.11) |
||||||||||||||||
mk |
k |
k |
kπ |
1 и |
|
|
|
|
|
1 и |
|
kπ |
2 |
|
kπ |
|
N |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
bk |
|
|
A(1 −coskω1tи)kπ |
|
|
|
|
1 −coskω1tи |
|
|
1 −cosk |
2π |
|
|
|||||||
ϕk =arctg |
=arctg |
=arctg |
=arctg |
N |
|
; (4.12) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ak |
|
|
kπAsin kω1tи |
|
|
|
|
|
|
sin kω1tи |
|
|
sin k |
2π |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28
Согласно (4.4), получим разложение f(t) в ряд Фурье:
|
|
|
|
|
|
1 − cos |
2kπ |
||||
|
A |
∞ |
|
2A |
|
|
|
|
|
||
|
N |
||||||||||
f (t) = |
+ ∑ |
|
sin kω1t + arctg |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
2kπ |
|
|
||||||
|
N |
k=1 |
kπ |
|
sin |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Величина |
N = T |
называется |
скважностью |
|
tи |
|
|
последовательности f(t).
(2.13)
периодической
4.2 Основные характеристики периодического негармонического сигнала
Действующее значение негармонической периодической функции f(t) определяется согласно действующему значению гармонической функции:
A = |
1 |
T f 2 (t)dt , |
|
д |
T |
∫0 |
|
|
|
|
|
если вместо f(t) подставить выражение (4.4). |
|
||
После интегрирования получим |
|
|
|
|
|
∞ |
|
Aд = A02 + ∑Ak2 , |
|
||
|
|
k=1 |
|
где |
= Amk |
|
|
A |
|
||
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
– действующее значение k-той гармоники ряда Фурье (4.4). |
|
||
Если в качестве функции f(t) взять ток i(t), то получим действующее |
|||
значение негармонического периодического тока |
|
||
|
|
∞ |
|
I = |
I02 + ∑Ik2 . |
(4.14) |
|
|
|
k=1 |
|
Для напряжения u(t) действующее значение |
|
||
|
|
∞ |
|
U = |
U02 + ∑Uk2 . |
(4.15) |
|
|
|
k=1 |
|
Таким образом, действующее значение негармонического периодического тока I или напряжения U полностью определяется постоянной составляющей (I0 или U0) и действующими значениями его гармоник (Ik или Uk) и не зависит от их начальных фаз φk.
Среднее значение Аср негармонической периодической функции f(t) определяется согласно среднему значению гармонической функции, если вместо f(t) подставить выражение (4.4):
|
1 |
T |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Aср = |
∫0 |
|
A0 + ∑Amk cos(kω1t + ϕk ) |
|
dt . |
(4.16) |
||
T |
||||||||
|
|
k=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
29
С точки зрения теории цепей, большой интерес представляет средняя активная мощность Р негармонического сигнала и распределение ее между отдельными гармониками.
Активная (вещественная) мощность определяется как
∞
P = ∑Uk I kcosψk ,
k=0
где ψk – разность фаз между начальной фазой k-той гармоники напряжения и k-той гармоники тока.
Реактивную мощность определяется как
∞
Q = ∑Uk I ksin ψk
k=0
и полная мощность
S =UI ,
где I и U – действующие значения, определяемые соответственно формулами (4.14) и (4.15).
В отличие от гармонических сигналов, для негармонических сигналов практически имеет место неравенство
S≠ 
P2 +Q2 .
4.3Алгоритм расчета отклика линейной электрической цепи при периодических негармонических воздействиях
Воснове расчета ЛЭЦ, находящихся под воздействием периодических негармонических сигналов, лежит принцип суперпозиции (или наложения).
Согласно этому принципу, разложенный в ряд Фурье (4.4) сигнал f(t) воздействует на ЛЭЦ по частям и поочередно:
1) постоянная составляющая А0 сигнала f(t);
2) первая гармоника Am1sin(ω1t + φ1) разложения в ряд Фурье сигнала f(t); 3) вторая гармоника Am2sin(2ω1t + φ2) разложения в ряд Фурье сигнала f(t)
ит. д. до последней гармоники.
Расчет отклика цепи на воздействие постоянной составляющей А0 сводится к расчету резистивной цепи, поскольку имеющиеся в ней индуктивности заменяем короткими замыканиями, а имеющиеся емкости – обрывами.
Расчет отклика цепи на каждую из гармоник осуществляем методом комплексных амплитуд.
Суммируя все полученные отклики, получаем отклик ЛЭЦ на заданное периодическое негармоническое воздействие.