3.6. Табличный симплекс-алгоритм.

Пусть имеется заполненная симплекс-таблица. Подводя итоги изложенному, получим следующий алгоритм решения ЗЛП симплекс-методом.

1. Если в нижней строке симплекс-таблицы все числа, кроме, быть может, самого правого, неположительны, то опорный план, соответствующий симплекс-таблице, оптимален, и алгоритм останавливается. В противном случае - переход пункту 2.

2. Если симплекс-таблица содержит столбец, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число, а во всех остальных строках - неположительные числа, то ЗЛП неразрешима из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции, и алгоритм останавливается. В противном случае - переход к пункту 3.

3. Выбираем любой столбец, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число - назовем его генеральным. Затем рассматриваем строки симплекс-таблицы, отличные от самой нижней, у которых в генеральном столбце стоят положительные числа. Для каждой из таких строк вычисляем отношение свободного члена к элементу, стоящему в генеральном столбце. Строка, для которой это отношение минимально, является генеральной строкой. Элемент, стоящий на пересечении генерального столбца и генеральной строки, будет генеральным элементом. Переход к пункту 4.

4. Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:

1) из базиса выведена переменная, стоящая в генеральной строке; в базис введена переменная, стоящая в генеральном столбце;

2) генеральная строка поделена на генеральный элемент;

3) с помощью жордановой процедуры все числа генерального столбца, за исключением 1, стоящей в генеральной строке, делаются равными нулю. Переход к пункту 1.

Пример I. Решить симплекс-методом

Задача записана в каноническом виде, нужно привести ее к табличному виду. Система уравнений записана в жордановой форме с неотрицательными правыми частями (базисные переменные и). Необходимо привести к табличному виду целевую функцию. Для этого выразим базисные переменные через свободные

x₃=10 - 2x₁ - x₂

x₄= 8 - x₁ - 2x₂

и подставим в целевую функцию

Для получения табличного вида функцию запишем так:

Теперь имеем табличный вид ЗЛП:

Заполним первую симплекс-таблицу

Таблица 3.7

Б					Q
	2	1	1	0	10
	1	2	0	1	8
F	10	6	0	0	28

В таблице 3.7 условия оптимальности и неразрешимости не выполняются. Выберем в качестве генерального столбец , у которого в нижней строке стоит положительное число. Затем, сравнивая отношения 10:3 и 8:1, выберем первую строку в качестве генеральной. В таблице генеральный элемент 2 .

Действуя в соответствии с пунктом 4 табличного симплекс-алгоритма, перейдем к таблице 3.8.

Таблица 3.8

Б					Q
	1			0	5
	0			1	3
F	0	1	-5	0	-22

Условия оптимальности и неразрешимости не выполняются. Выбираем в таблице 3.8 генеральный элемент и переходим к следующей таблице

Таблица 3.9

Б					Q
	1	0			4
	0	1			2
F	0	0			-24

Таблица 3.9 удовлетворяет условию оптимальности.

Ответ: оптимальный план

Минимальное значение целевой функции f_min = - 24.

Пример 2. Решить симплекс-методом:

Прежде всего, ЗЛП нужно привести к каноническому виду

Теперь приводим ЗЛП к табличному виду. Видим, что система уравнений записана в жордановой форме с неотрицательными правыми частями (иz- базисные переменные). Однако в целевую функцию входит базисная переменная. Имеем:

Следовательно, табличный вид ЗЛП таков:

Заполняем симплекс-таблицу (таблица 3.10).

Таблица 3.10

Б				z	Q
	-1	1	1	0	1
z	1	-2	0	1	4
g	2	0	0	0	-1