2.6. Канонический вид злп.
В исходной постановке ЗЛП могут допускать различные формы записи. Так, в одних задачах требуется максимизировать целевую функцию, в других - минимизировать; некоторые линейные ограничения могут иметь вид равенств, другие - неравенств и т.д.
Для единообразия записи ЗЛП вводится так называемая каноническая форма записи.
Говорят, что ЗЛП записана в канонической форме, если она имеет следующий вид:
(2.3)
Отметим следующие особенности канонического вида:
1) требуется минимизировать целевую функцию;
2) все линейные ограничения, кроме требований неотрицательности переменных, имеют вид равенств;
на все переменные наложены требования неотрицательности.
Покажем, что любую ЗЛП можно привести к каноническому виду.
1) Если в ЗЛП требуется максимизировать целевую функцию f, то положим g = - f и потребуем минимизировать функцию g. Получится новая ЗЛП, которая эквивалентна исходной в том смысле, что каждое оптимальное решение исходной задачи будет оптимальным решением новой задачи и наоборот.
2) Предположим, что в ЗЛП есть линейное ограничение вида
.
Заменим такое ограничение следующими
двумя ограничениями:
где z - новая переменная, которая в целевую функцию вводится с коэффициентом 0 (иначе говоря, переменная z не вводится в целевую функцию). Значение переменной z можно не учитывать после решения новой задачи.
Аналогично,
ограничение вида
заменяется двумя ограничениями:
3)
Предположим, что в ЗЛП не ко всем
переменным предъявлено требование
неотрицательности. Тогда каждую,
переменную
,
на которую не наложено требование
неотрицательности, представим в виде
разности двух неотрицательных переменных:
(2.6)
Каждое
вхождение переменной
в
целевую функцию или ограничения заменим
разностью
.
Решив новую задачу с помощью (2.6), вернемся
к прежним переменным.
Указанными приемами любая ЗЛП приводится к каноническому виду.
Пример. Привести к каноническому виду
Проделаем описанные действия.
Теперь получим ЗЛП в каноническом виде:
2.7. Понятие опорного плана злп.
Пусть ВЛП задана в каноническом виде (2.3 - 2.5). Предположим, что система уравнений (2.4) приведена к жордановой форме с неотрицательными правыми частями:
(2.6)
где
.
Приравняв к нулю свободные переменные, получим базисное решение системы (2.4)
(2.7)
В
силу условия
набор
значений переменных (2.7) удовлетворяет
и ограничениям (2.5). Поэтому (2.6) являетсядопустимым
решением ЗЛП.
Допустимое
решение (2.7) называется базисным
допустимым
решением или опорным
планом ЗЛП.
При этом говорят, что переменные
образуют
допустимый базис.
Оказывается, что если ОДР изобразить геометрически, то каждый опорный план ЗЛП соответствует вершине многогранника. Поэтому справедлива следующая теорема.
Если ЗЛП разрешима, то существует оптимальный опорный план.
3. Симплексный метод решения злп
3.1. Общая характеристика и основные этапы симплекс – метода
Основоположниками симплекс-метода являются советский математик Л.В. Канторович и американский математик Дж. Данциг.
Симплекс-методом можно решить любую ЗЛП или обнаружить ее неразрешимость. Многие специальные классы ЗЛП можно решить другими, более эффективными для этих классов методами. Однако преимущество симплекс-метода - его универсальность. Почти для всех ЭВМ разработаны стандартные программы для решения ЗЛП симплекс - методом.
Опишем общую идею симплекс-метода.
Считаем, что ЗЛП записана в каноническом виде и целевую функцию нужно минимизировать. Как мы уже знаем, оптимальный план следует искать среди опорных планов ЗЛП. Симплекс-метод не перебирает все опорные планы (что было бы часто невозможно из-за их огромного количества), а, начиная с некоторого исходного опорного плана, он последовательно переходит к другим опорным планам с уменьшением целевой функции. Симплекс-метод прекращает свою работу тогда, когда либо будет найден оптимальный опорный план, либо установлена неразрешимость задачи.
При решении ЗЛП симплекс-методом можно выделить следующие этапы:
1) приведение ЗЛП к каноническому виду;
2) приведение системы линейных уравнений к жордановой форме с неотрицательными правыми частями с одновременной проверкой на неразрешимость ЗЛП из-за противоречивости системы линейных ограничений;
3) исследование опорного плана на оптимальность;
4) исследование ЗЛП на неразрешимость из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции;
5) переход к новому, "лучшему" опорному плану.