2.3. Задача составления рациона (задача о диете).

Для откорма животного используется n видов кормов, содержащих m видов питательных веществ. Пусть- содержаниеi- го питательного вещества в одном килограмме j - го вида корма - стоимость одного килограммаj-ro вида корма Минимальная суточная потребность животного вi-ом питательном веществе равна . Необходимо составить наиболее дешевый рацион нужной питательности.

Обозначим через x_j количество килограммов корма j-го вида.

Очевидно, математическая модель задачи такова.

f = → min

при ограничениях:

2.4. Общая постановка задачи линейного программирования

Линейным ограничением, наложенным на переменные , называется соотношение одного из следующих трех типов:

где - действительные числа.

Например, соотношения 2х - ≤ 1 или ≥ 0 являются

линейными, а соотношения ≥ 3 или sin x₁ ≤ не являются линейными.

Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП) состоит в следующем.

Дана некоторая линейная функция

f =_n (2.1)

и некоторая система линейных ограничений, наложенных на переменные :

(2.2)

Требуется найти такие значения переменных , которые

удовлетворяли бы ограничениям (2.2) и при этом условии обращали бы в оптимум (max и min) функцию (2.1).

Функция (2.1) называется целевой. Каждый набор значений переменных, при которых удовлетворяются ограничения (2.2), называется допустимым решением или допустимым планом ЗЛП. Совокупность всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР).

Приведенные в параграфах 2.1, 2.2, 2.3 задачи являются, очевидно, задачами линейного программирования.

Допустимое решение, обращающее целевую функцию в оптимум, называется оптимальным решением или оптимальным планом.

Говорят, что ЗЛП разрешима,если она имеет оптимальный план. В противном случае задача называетсянеразрешимой.

ЗЛП может быть неразрешимой только по следующим двум причинам:

а) ОДР пуста;

б) ОДР непуста, но целевая функция не ограничена на ОДР сверху, если в ЗЛП ищется ее максимум, или - не ограничена снизу, если в ЗЛП ищется минимум целевой функции.

Например, задача: f = min

при ограничениях

неразрешима из-за пустоты ОДР.

Задача же f = max при ограничениях

неразрешима из-за того, что целевая функция не ограничена сверху на ОДР. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрите такие допустимые решения : и т.д.).

2.5. Геометрический метод решения злп.

В случае, когда число переменных в ЗЛП равно двум, задачу можно решить геометрически. Рассмотрим примеры.

Пример 1

f = max

Каждое допустимое решение ЗЛП будем изображать точкой координатной плоскости. Построим ОДР (рис. 2.1). Рассмотрим первое линейное ограничение. Совокупность точек плоскости, удовлетворяющих этому ограничению, представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой. Сначала построим эту граничную прямую (ее можно построить по двум точкам: (0,6) и (9,0). Эта прямая разобьет плоскость на две полуплоскости. Чтобы решить вопрос о том, какую из этих двух полуплоскостей определяет неравенство, возьмем в одной из полуплоскостей какую-либо точку, не лежащую на граничной прямой, и подставим ее координаты в неравенство. Например, в качестве такой точки возьмем начало координат - точку (0,0). Поскольку, то полуплоскость, определяемая неравенством, содержит точку (0,0). Аналогично находим полуплоскости, определяемые остальными ограничениями. Далее определим ОДР как общую часть полученных полуплоскостей. Получим выпуклый многоугольник

рис.2.1.

Теперь осталось определить максимум целевой функции на ОДР. Для этого построим линии уровня целевой функции. Линия уровня - это множество точек плоскости, в которых целевая функция принимает постоянное значение. Поскольку целевая функция

f =,то каждая линия уровня имеет вид. Видим, что при различных значениях параметра С получаются параллельные прямые. Построим, например, две линии уровня, положив С = 4 и С = 8. Отметим стрелкой направление, в котором перемещается линия уровня при увеличении С. Передвигая линию уровня в указанном направлении, найдем точку ОДР, в которой С имеет наибольшее значение. Это будет точка А. Она является результатом пересечения двух прямых:и

Для нахождения координат точки А решим систему

Получим оптимальное решение

Пример 2. f =min

рис. 2.2.

В этом примере полуплоскости, определяемые линейными ограничениями, не имеют общих точек. Поэтому ЗЛП неразрешима из-за пустоты ОДР.

Пример 3. f =

В данном примере (рис.2.3) ОДР - выпуклая неограниченная многоугольная область.

рис. 2.3.

Построим линию уровня . Передвигая линию уровня в направлении, указанном стрелкой, видим, что на ОДР целевая функция может принимать сколь угодно большие значения. Поэтому ЗЛП неразрешима из-за неограниченности сверху на ОДР целевой функции.

Пример 4. f =

Этот пример отличается от предыдущего только тем, что целевую функцию нужно минимизировать, а не максимизировать. Линию уровня нужно перемещать в направлении, противоположном тому, которое указано на рисунке 2.3 стрелкой. Так как линия уровня параллельна прямой , то минимальное значение на ОДР целевая функция достигает во всех точках отрезка АВ. Чтобы указать конкретное оптимальное решение задачи, нужно выписать координаты какой-либо точки этого отрезка.

Например,

Пример 5. Решим геометрически задачу об использовании

оборудования, которая рассматривалась в параграфе 2.1. Ее математическая модель

f =

Построим ОДР (рис 2.4). Затем проведем линию уровня . Укажем стрелкой направление, в котором перемещается линия уровняс ростомC. Максимум целевой функции на ОДР достигается в точке А. Для отыскания координат точки А решим систему:

рис.2.4.

Отсюда

Ответ. Оптимальный план таков: изделий А нужно производить 7,5 единиц, изделий В -5 единиц; при этом прибыль будет равна 80 денежным единицам.

Геометрический метод можно использовать для решения ЗЛП с числом переменных n = 3. При большем числе переменных ЗЛП не допускает наглядного геометрического решения. Вместе с тем для произвольного числа переменных справедливы утверждения:

1) область допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник;

2) если ЗЛП разрешима, то оптимальное решение достигается в одной из вершин выпуклого многогранника.