5.6. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.

1. Отыскиваем исходный опорный план перевозок (к примеру, методом минимального элемента). Переход к пункту 2.

2. Строим систему потенциалов. Для этого для каждой базисной клетки (p,q) записываем уравнение α_p+β_q=c_pq. Получается система m+n–1 уравнений с m+n неизвестными потенциалами. Один из потенциалов полагаем равным 0 и находим из системы остальные потенциалы. Переход к пункту 3.

3. Для каждой свободной клетки (i, j) вычисляем псевдостоимость . Если для всех свободных клеток, то план оптимален, и алгоритм останавливается. Если же найдется свободная клетка (i, j), для которой , то переход к пункту 4.

4. Строим цикл пересчета, проходящий через клетку (i, j), делаем по нему максимально допустимый сдвиг, получив, таким образом, новый опорный план. Переход к пункту 2.

Пример. Исходные данные задачи приведены в таблице 5.9.

Методом минимального элемента находим исходный опорный план перевозок и записываем его в ту же таблицу.

Таблица 5.9

Пн По	В1	В2	В3	В4	Запасы	αi
А1	2 15	1 4	5 7	11 6	15	0
А2	5 7	4 18	8 10	14 9	35	3
А3	3 4	2 11	6 7	12 13	20	1
Потребности	22	18	17	13	70=70
βj	2	1	5	11

Для определения потенциалов решим следующую систему:

Положим α₁=0. Тогда β₁=2;α₂=3; β₂=1; β₃=5; α₃=1; β₄=11. Найденные потенциалы вносим в таблицу 5.9.

Вычисляем псевдостоимости для свободных клеток и проставляем их в левые верхние углы клеток. Выбираем свободную клетку, в которой ; например, выберем клетку (1,4). Строим цикл пересчета, проходящий через эту клетку, и произведем по нему максимально допустимый сдвигh = 10 (в отрицательных клетках наименьшей перевозкой является х₂₃=10). После сдвига клетка (2,3) становится свободной, а клетка (1,4) - базисной. Получаем новый опорный план, записанный в таблице 5.10.

Таблица 5.10

Пн По	В1	В2	В3	В4	Запасы	αi
А1	- 2 5	1 4	0 7	+ 6 10	15	0
А2	5 17	4 18	3 8	9 9	35	3
А3	8 + 7	7 11	6 17	- 12 3	20	6
Потребности	22	18	17	13	70=70
βj	2	1	0	6

Вновь строим систему потенциалов, рассчитываем псевдостоимости, строим цикл пересчета, проходящий через клетку (3,1), делаем по нему максимально допустимый сдвиг величины h=3.

Таблица 5.11

Пн По	В1	В2	В3	В4	Запасы	αi
А1	2 2	1 4	-4 7	6 13	15	0
А2	5 17	4 18	-1 8	9 9	35	3
А3	4 3	2 11	6 17	8 12	20	2
Потребности	22	18	17	13	70=70
βj	2	1	-4	6

После сдвига получим опорный план, записанный в таблице 5.11. Построив систему потенциалов и рассчитав псевдостоимости, видим, что для всех свободных клеток . Поэтому опорный план оптимален.

Итак, оптимальный план имеет следующий вид: х₁₁=2; х₁₄=13; х₂₁=17; х₂₂=18; х₃₁=3; х₃₃=17.

При этом f_mln = 2•2 + 13•6 + 17•5 + 18•4 + 3•4 + 17•6 =353