1.3. Понятие общего, частного и базисного решений.

Пусть система (І.І) представлена в жордановой форме (1.2). Выразим базисные переменные через свободные.

(1.6)

(1.6) называется общим решением системы (I.I).

Если свободным переменным придать любые числовые значения и вычислить значения базисных переменных из системы (1.6), то получится решение исходной системы, называемое частным. Частное решение называется базисным, если свободные переменные принимают нулевые значения. Решение (1.3) является базисным.

В примере общее решение таково:

а базисное решение. Если в жордановой форме число уравнений равно числу переменных n, т.е. жорданова форма имеет вид:

то система имеет единственное решение; оно является и общим, и частным, и базисным. Если же k‹n , т.е. жорданова форма содержит свободные переменные, то система имеет бесконечно много решений.

2. Общие свойства задачи линейного программирования

2.І. Пример задачи линейного программирования - задача об использовании оборудования.

Предприятие выпускает два вида изделий А и В, для производства которых используются три типа станков. Известны затраты времени (в часах) станками на производство единицы каждого вида изделий, резервы времени станков, а также прибыль от реализации каждого вида изделия. Все эти данные приведены в таблице:

Изделия станки	А	В	Резервы времени (в часах)
I	Затраты времени на пр-во ед. изделия (в часах)		Резервы времени (в часах)
I	2	3	30
II	4	2	40
III	3	4	60
Прибыль от реализации ед. изделия	6	7

Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Это пример оптимизационной экономической задачи. Решение таких задач включает в себя следующие этапы:

построение экономико-математической модели;

решение полученной математической задачи каким-либо математическим методом;

внедрение результата решения в практику.

Под экономико-математической моделью понимается система математических соотношений, описывающих экономический процесс.

Построим экономико-математическую модель задачи об использовании оборудования.

Пусть х₁ - количество изделий А, а - количество изделий В, которые будут выпущены предприятием. Тогда прибыль, полученная предприятием, будет равна , Переменныеинужно подобрать так, чтобы функциямаксимизировалась. Так как первый станок может работать не более 30 часов, то должно выполняться соотношение. Аналогичные ограничения на переменные х₁ и х₂накладываются резервами времени второго и третьего станков. Учитывая еще, что переменные х₁ и х₂ могут принимать только неотрицательные значения, получим следующую экономико-математическую модель задачи:

max

при ограничениях

2.2. Задача об использовании сырья.

С математической точки зрения эта задача является обобщением той, которая рассмотрена в предыдущем параграфе. Формулируется она так.

Предприятие выпускает продукцию n видов , на изготовление которой расходуется сырьеm видов , запасы которого на предприятии равны соответственно . Известны расходысырьяS_i на производство единицы продукции (i = ; j =). Стоимость единицы продукции равна(j =). Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором выручка от реализации продукции была бы наибольшей.