3.2. Табличный вид злп. Симплекс - таблицы.
Для сокращения и упорядочения записей при решении ЗЛП симплекс-методом используются так называемые симплекс-таблицы. Чтобы воспользоваться симплекс-таблицей, ЗЛП нужно привести к табличному виду. Делается это так.
Пусть ЗЛП записана в каноническом виде (2.3-2.5). Для приведения ЗЛП к табличному виду систему (2.4) следует сначала привести к жордановой форме с неотрицательными правыми частями. Предположим, что эта жорданова форма имеет вид (2.6). Выразим из (2.6) базисные переменные через свободные:
(3.1)
Подставив в целевую функцию (2.3) вместо базисных переменных их выражения через свободные переменные по формулам (3.1), исключим тем самым из целевой функции базисные переменные. Целевая функция примет вид:
(3.2)
В табличном виде целевая функция записывается так:
(3.3)
где
.
Отметим следующие особенности табличного вида ЗЛП:
а) система линейных уравнений приведена к жордановой форме с неотрицательными правыми частями;
б) из целевой функции исключены базисные переменные и она записана в форме (3.3).
Перейдем теперь к описанию симплекс-таблицы. Пусть ЗЛП записана в табличном виде:
(3.4)
Тогда заполненная симплекс-таблица выглядит так.
Таблица 3.1.
|
Базис |
Переменные |
Свободные члены | |||||||
|
|
|
|
... |
xk |
|
|
... |
|
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
... |
|
|
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
... |
|
|
|
. . . |
. . |
. . |
... |
. . |
. . |
. . |
... |
. . |
. . . |
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
... |
|
|
|
f |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
.... |
|
|
Опорный
план ЗПЛ:
...,
называется
опорным планом, соответствующим этой
симплекс-таблице. Как видно из формулы
(3.2), значение целевой функции при этом
опорном плане равно γ0.
Рассмотрим пример. Привести к табличному виду следующую ЗЛП и заполнить симплекс-таблицу:
Вначале ЗЛП следует привести к каноническому виду. Для этого функцию f нужно заменить на - f:
Система
уравнений должна быть записана в
жордановой форме с неотрицательными
правыми частями. Общий прием, с помощью
которого это достигается, будет рассмотрен
позднее (параграф 3.7). В нашем примере
такая жорданова форма уже есть с базисными
переменными
и
.
Исключим базисные переменные из целевой
функции -f.
Для этого выразим их через свободные и
подставим эти выражения в целевую
функцию.
Табличный вид ЗЛП таков:
Заполним симплекс-таблицу (для сокращения записей первый столбец озаглавлен "Б", последний столбец - "Q").
Таблица 3.2.
|
Б |
|
|
|
|
Q |
|
|
4 |
1 |
-5 |
0 |
8 |
|
|
-7 |
0 |
-2 |
1 |
4 |
|
-f |
-4 |
0 |
8 |
0 |
-20 |
Опорный план, соответствующий этой симплекс-таблице, имеет вид:
.
Значение функции - f
при этом опорном плане равно - 20.