3.3. Условие оптимальности опорного плана.

Пусть имеется заполненная симплекс-таблица. Сформулируем условие оптимальности опорного плана.

Если в нижней строке симплекс-таблицы все числа, кроме, быть может, самого правого, неположительны, то опорный план, соответствующий этой таблице, оптимален.

Для простоты обоснуем справедливость этого утверждения на примере. Пусть заполненная симплекс-таблица имеет вид:

Таблица 3.3.

Б						Q
	1	0	2	-1	3	2
	0	1	2	0	-1	3
f	0	0	-5	-3	-1	6

Значение целевой функции при опорном плане, соответствующем симплекс-таблице, равно 6. Выпишем целевую функцию в табличном виде:, откуда. Так как при любом допустимом решении ЗЛП переменные принимают только неотрицательные значения, то из последней записи целевой функции видно, что ее значение в любой точке ОДР не меньше 6. Следовательно, минимальное значение целевой функции на ОДР равно 6 и оно достигается при опорном плане, соответствующем симплекс-таблице, .

3.4. Условие неразрешимости злп из-за неограниченности снизу на одр целевой функции.

Если для ЗЛП заполнена симплекс-таблица, то ОДР задачи непуста, так опорный план, соответствующий симплекс-таблице, принадлежит ОДР. Однако ЗЛП может быть неразрешимой из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции.

Условие неразрешимости формулируется так.

Если симплекс-таблица содержит хотя бы один столбец, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число, а во всех остальных строках столбца - неположительные числа, то ЗЛП неразрешима из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции.

Для обоснования снова воспользуемся примером.

Таблица 3.4.

Б						Q
	1	0	2	5	-2	2
	0	1	-3	0	-1	3
f	0	0	3	-1	2	4

Столбец в нижней строке содержит положительное число, а в остальных строках - неположительные числа. Докажем неразрешимость ЗЛП.

Выпишем жорданову форму, соответствующую симплекс-таблице, и перенесем члены, содержащие , в правую часть. Получим

Пусть а - произвольное положительное число. Очевидно, ЗЛП имеет следующее допустимое решение:. Вычислим значение целевой функции при этом допустимом решении. Из таблицы 3.4 имеем:

. При указанном допустимом решении f = 4 - 2а. Отсюда видим, что значение целевой функции может стать как угодно малым при достаточно большом значении а. Иначе говоря, целевая функция не ограничена снизу на ОДР. Следовательно, ЗЛП неразрешима.

3.5. Переход к новому опорному плану.

Предположим, что условия оптимальности и неразрешимости не выполняются. Тогда симплекс-метод переходит к новому опорному плану. Этот переход совершается за счет выведения из базиса одной из базисных переменных и введения в базис одной из свободных переменных. При этом должны выполняться следующие два условия:

1) новый базис должен быть по-прежнему допустимым, т.е. правые части соответствующей жордановой формы должны быть по-прежнему неотрицательными;

2) при новом опорном плане значение целевой функции не должно превышать ее значения при прежнем опорном плане.

Столбец симплекс-таблицы, в котором стоит переменная, вводимая в базис, называется генеральным столбцом. Строка, в которой стоит переменная, выводимая из базиса, называется генеральной строкой. Элемент, стоящий на пересечении генеральной строки и генерального столбца, называется генеральным элементом.

Правило выбора генерального элемента.

В качестве генерального столбца выбирается любой столбец симплекс-таблицы, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число. Затем рассматриваются только те строки симплекс-таблицы, отличные от самой нижней, у которых на пересечении с генеральным столбцом стоят положительные числа. Для каждой из таких строк вычисляется отношение свободного члена к элементу, стоящему в генеральном столбце. Строка, для которой это отношение минимально, выбирается в качестве генеральной. Элемент, стоящий на пересечении генеральной строки и генерального столбца, и будет генеральным элементом.

Проиллюстрируем это правило на примере.

Таблица 3.5.

Б						Q
	1	0	0	2	-1	4
	0	1	0	3	4	8
	0	0	1	-2	6	3
F	0	0	0	7	5	12

В качестве генерального столбца можно выбрать либо столбец , либо столбец . Выберем (чаще всего выбирают тот столбец, у которого внизу большее положительное число). Теперь приступим к выбору генеральной строки. Для этого рассмотрим две строки - и . Составляем отношения 4:2 и 8:3. Меньшее значение имеет отношение 4:2, поэтому первую строку выбираем в качестве генеральной. Следовательно, генеральный элемент равен 2 - он стоит на пересечении столбца и строки .

После выбора генерального элемента нужно перейти к новому опорному плану, при котором переменная становится базисной, а переменная х₁- свободной. Коэффициент при в новой жордановой форме должен быть равен 1. Поэтому первая строка таблицы 3.5 делится на 2. Умножив затем полученную первую строку на (-3) и прибавив ко второй строке, исключим из второго уравнения. Аналогично, с помощью жордановой процедуры исключаем из третьего уравнения и из целевой функции (последнее требует табличный вид ЗЛП).

В результате получим следующую таблицу.

Таблица 3.6

Б						Q
		0	0	1		2
		1	0	0	3	2
	1	0	1	0	5	7
f		0	0	0		-2

Обратим внимание, что в столбце Q в первых трех строках стоят неотрицательные числа, т.е. новый базис по-прежнему является допустимым. Это не случайный факт: так будет всегда при точном соблюдении правила выбора генеральной строки. Далее, значение целевой функции при новом опорном плане равно -2, при старом оно было равно 12. "Улучшение" опорного плана гарантирует правило выбора генерального столбца. Хотя эти факты мы строго не доказываем, следует иметь в виду, что они всегда имеют место.

Посмотрев на таблицу З.6 , мы видим, что не выполняются ни условие оптимальности опорного плана, ни условие неразрешимости ЗЛП. Значит, надо снова выбирать генеральный элемент и переходить к новой симплекс-таблице. Читатель сможет проделать это самостоятельно.