6.4. Решение зцлп методом округления.

Метод округления – простейший метод приближенного решения ЗЦЛП. Его сущность состоит в том, что решается ослабленная задача (как задача линейного программирования) и полученное оптимальное решение ЗЛП округляется до целочисленного решения. Этот метод имеет два существенных недостатка:

в результате округления может получиться недопустимое решение;
решение, полученное в результате округления, являясь допустимым, может значительно отличаться от оптимального.

Пример 1.

Решив геометрически ослабленную задачу, получаем оптимальное решение:

Произведем округления:

x₁=2; x₂=0. Получим недопустимое решение - не удовлетворяется ограничение 7x₁+4x₂<=13 (действительно, 7*2+4*0<=13 – ложное неравенство).

2)х₁=1; х₂=0. Это допустимое решение. Значение целевой функции f=21*1+11*0=21, что сильно отличается от оптимального значения.

Оптимальное решение этой ЗЦЛП таково: х₁=0; х₂=3; f_max =33.

Метод округления можно использовать тогда, когда целевая функция малочувствительна к изменениям переменных в пределах единицы.

6.5. Метод ветвей и границ.

Этот метод точного решения ЗЦЛП чаще всего используется на практике. Он состоит в следующем.

Сначала решается ослабленная задача. Если полученное оптимальное решение целочисленное, то ЗЦЛП решена. Если же оптимальное решение ЗЛП не является целочисленным, то производим "ветвление" следующим образом. Пусть переменная х_s приняла в оптимальном решении значение q_s, которое не является целым. Тогда рассматриваем две ЗЦЛП. Первая получается добавлением ограничения х_s<=[q_s], вторая – добавлением ограничения х_s>=[q_s] + 1, где [q_s] - целая часть числа q_s .

Каждая из этих двух задач аналогичным образом может разбиться еще на две задачи т.д.

Если в результате решения какой-либо из задач получается целочисленный оптимальный план, то значение А целевой функции при этом плане играет роль "границы": если в результате решения очередной ЗЛП выяснится, что оптимальное значение целевой функции "хуже" А, то такая задача "не ветвится".

Недостаток метода ветвей и границ состоит в том, что часто оптимальное решение ЗЦЛП достигается после очень большого числа ветвлений.

Вернемся к ЗЦЛП примера 1.