Практикум по ИО

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие «Практикум по исследованию операций в экономике» пред% назначено для студентов экономических специальностей вузов, изучающих раздел «Математические методы принятия решений в экономике» дисциплины «Математика», а также дисциплины «Математические методы и модели иссле% дования операций», «Методы оптимизации», «Системный анализ и принятие решений», «Экономико%математические методы», «Финансовая математика» и т. п.

Практикум подготовлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальностям 080000 «Специальности экономики и управления», Примерной программой дис% циплины «Математика» для экономических, менеджериальных направлений и специальностей, составленной Научно%методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации, действующими учебными планами и программами учебных дисциплин Государственного уни% верситета управления (ГУУ) и Института гуманитарного образования (ИГУ% МО), которые отводят существенную роль контролируемой самостоятельной работе студентов. Например, в ГУУ самостоятельная работа студентов по раз% делу «Математические методы принятия решений в экономике» дисциплины «Математика» организована в форме курсового проекта, в ИГУМО — в форме семестрового домашнего задания. В других вузах также организуется само% стоятельная работа студентов по математическим дисциплинам в форме курсо% вых работ и проектов, семестровых домашних заданий, лабораторных и расчет% но%графических работ, типовых расчетов и т. п.

Данный практикум состоит из двадцати заданий, которые охватывают ли% нейное, нелинейное, целочисленное и динамическое программирование, задачи оптимизации на графах, многокритериальной оптимизации, принятия решений в условиях конфликта и неопределенности, математической экономики и фи% нансовой математики.

Цель практикума — подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построе% ние математической модели, решение управленческой задачи при помощи мо% дели и анализ полученных результатов.

Выполнение практикума направлено на усиление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления и организации современного произ% водства. В процессе работы над заданиями практикума студент не только за% крепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и практи% ческих занятиях, но и учится применять математические методы оптимизации и исследования операций при постановке и решении конкретных экономиче% ских, управленческих и финансовых задач.

Практикум состоит из двадцати разделов, соответствующих двадцати зада% ниям: в каждом разделе приводятся необходимые для решения задач теорети% ческие сведения и методические указания к выполнению заданий (с подробно разобранными примерами).

Основой организации самостоятельной работы студентов является индиви% дуализация заданий, поэтому каждая задача практикума представлена 35 ва% риантами исходных числовых данных, что позволяет предложить индивиду% альное задание каждому студенту учебной группы.

3

Каждое задание практикума предполагает построение математической мо% дели, ее анализ с использованием ручных вычислений, компьютерную провер% ку решения (в пособии приводятся подробные сведения о компьютерной реали% зации изучаемых методов оптимизации в пакете Microsoft Excel) и содержатель% ную экономическую интерпретацию полученных результатов.

В зависимости от специфики вуза и специальности преподаватель может ис% пользовать практикум полностью или частично. Так, студентам специальности 080801 «Математические методы в экономике» целесообразно выполнить прак% тикум полностью в рамках курсового проекта по дисциплине «Математические методы и модели исследования операций», а студентам специальности 080600 «Статистика» — в рамках курсового проекта по дисциплине «Методы оптими% зации». Самостоятельная работа студентов специальностей 080102 «Мировая экономика», 080103 «Национальная экономика», 080111 «Маркетинг», 080507 «Менеджмент организации» и других прикладных экономических и управлен% ческих специальностей может быть организована в форме выполнения части заданий практикума, составляющих курсовой проект, семестровое домашнее задание, типовой расчет, лабораторную или расчетно%графическую работу по разделу «Математические методы принятия решений в экономике» дисципли% ны «Математика». На ряде специальностей, таких как 080105 «Финансы и кре% дит», 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080503 «Антикризисное управление», 080506 «Логистика и управление цепями поставок», 220601 «Управление инновациями» и др., Государственным образовательным стандар% том высшего профессионального образования в дополнение к учебной дисцип% лине «Математика» предусмотрены также такие дисциплины, как «Экономико% математические методы», «Системный анализ и принятие решений», «Финан% совая математика» и т. п. — часть заданий практикума может быть использова% на и в преподавании экономико%математических и финансово%математических дисциплин.

Работа авторов над пособием разделилась следующим образом: предисловие написано В. А. Колемаевым и В. И. Соловьевым, ими же осуществлена общая редакция пособия; разделы 1, 2, 4, 8 и 10 написаны совместно И. С. Карандаевым и В. И. Соловьевым; раздел 3 написан совместно Т. М. Гатауллиным и В. И. Соловьевым; разделы 5, 19 и 20 написаны В. И. Соловьевым; разделы 6 и 7 написаны И. С. Карандаевым; разделы 9, 11—13 и 16 написаны совместно В. И. Малыхиным и В. И. Соловьевым; разделы 14, 15, 17 и 18 написаны совмест% но В. А. Колемаевым, В. И. Малыхиным и В. И. Соловьевым.

Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам: заведующему кафедрой математики и информационных технологий Московской академии предпринимательства при Правительстве г. Москвы, доктору физико%матема% тических наук, профессору В. И. Быкову, заведующему кафедрой высшей ма% тематики Московского энергетического института, доктору физико%матема% тических наук, профессору И. М. Петрушко и профессору кафедры прикладной математики Государственного университета управления, доктору физико% математических наук В. В. Шмелеву.

Авторы также благодарны преподавателям кафедры прикладной математи% ки ГУУ, которые участвовали в подготовке исходных числовых данных для за% даний практикума: кандидату физико%математических наук, доценту Ю. Г. Прохорову и старшему преподавателю Х. Х. Юнисову.

4

мых вектором b, а также со структурой внешних цен, на основе которых получается вектор прибылей c. Условимся называть эти оценки расчет5 ными оценками ресурсов. Подчеркнем, что расчетную оценку единицы ресурса не следует отождествлять с той ценой, по которой предприятие приобретало этот ресурс. Последняя отражает общественно необходимые затраты на производство единицы ресурса и определяется рынком, а расчетная оценка показывает только с р а в н и т е л ь н у ю ц е н н о с т ь э т о г о р е с у р с а н а д а н н о м п р е д п р и я т и и в д а н н ы х к о н к р е т н ы х у с л о в и я х.

Как определить расчетные оценки ресурсов? Обозначим через yi оцен% ку единицы i%го вида ресурса, т. е.

Суммарная оценка всех ресурсов представляется в виде b1y1 + +bmym . Эта сумма должна быть минимальной при условии, что на производство единицы продукции j%го вида мы должны затратить различные виды ре% сурсов в количествах a1j ,a2j ,...,amj , и их суммарная оценка, равная a1jy1 +a2jy2 + +amjym , должна быть не меньше той прибыли, которую мы получим от реализации единицы готовой продукции.

Таким образом, мы пришли к новой задаче линейного программирова% ния: найти вектор оценок ресурсов

минимизирующий суммарную оценку всех ресурсов

Полученная задача линейного программирования (1.1.4)—(1.1.6) назы% вается двойственной задачей к задаче (1.1.1)—(1.1.3). Расчетные оценки ресурсов, соответствующие оптимальному плану производства, служат

6

компонентами оптимального решения двойственной задачи. Поэтому ка% ждую из компонент yi оптимального решения двойственной задачи назы% вают двойственной оценкой i5го ресурса.

Приведем краткую сводку основных результатов теории двойственности.

ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ. Если одна из задач двойствен5

ной пары имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптималь5 ное решение, причем экстремальные значения линейных форм равны; если же линейная форма одной из задач не ограничена, то система усло5 вий другой задачи противоречива.

Экономическое содержание первой основной теоремы двойственности линейного программирования таково. В терминах оценок она может быть сформулирована следующим образом: если задача определения опти% мального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного реализацией оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов.

ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ (ТЕОРЕМА О ДОПОЛНЯЮЩЕЙ НЕЖЕ2

СТКОСТИ). Для того, чтобы допустимые решения

пары двойственных задач являлись оптимальными решениями этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий

т. е. если какое%либо неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в точное равенство оптимальным решением этой задачи, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной зада% чи должна равняться нулю; если же какая%либо компонента оптимально% го решения одной из задач положительна, то соответствующее ограниче% ние в двойственной задаче ее оптимальным решением должно обращать% ся в точное равенство. Другими словами, если yi >0 для некоторого i, то

7

если xj >0 для некоторого j, то

i=1

аесли ∑aijyi >0 , то

i=1m

Рассмотрим экономическое содержание второй теоремы двойственно% сти. Для этого обратимся последовательно к утверждениям (1.1.7')— (1.1.7'') и (1.1.8')—(1.1.8''). Утверждения (1.1.7') и (1.1.7'') можно истолковать следующим образом.

Если по оптимальному плану производства ( x ) расход i%го ресурса

n

∑aijxj строго меньше его запаса bi :

j=1

n

∑aijxj <bi , j=1

то оценка yi единицы этого ресурса равна нулю:

yi =0 ;

если же оценка i%го ресурса строго больше нуля:

yi >0 ,

то расход этого ресурса равен его запасу:

n

∑aijxj =bi . j=1

Таким образом, оценки оптимального плана выступают как мера дефи% цитности ресурсов. Дефицитный ресурс, полностью используемый по оп% тимальному плану производства, имеет положительную оценку, а неде% фицитный ресурс, не полностью используемый, имеет нулевую оценку.

m

Условия (1.1.8') и (1.1.8'') можно истолковать так. Если оценка ∑aijyi ре%

i=1

сурсов, расходуемых по j%й технологии в единицу времени, строго больше цены продукта, производимого по той же технологии за то же время

m

∑aijyi > cj , i=1

то j%я технология не применяется:

xj =0;

8

если же по некоторому оптимальному плану производства j%я технология применяется, т. е.

xj >0,

то оценка ресурсов, расходуемых по этой технологии в единицу времени, равна цене произведенного за единицу времени по той же технологии продукта:

m

∑aijyi = cj . i=1

Таким образом, оценки оптимального плана выступают как инструмент определения эффективности отдельных технологических способов. Дан% ный способ производства используется в том и только в том случае, когда при его реализации оценка затраченных ресурсов и цена полученной продукции совпадают.

Пусть теперь рассматривается задача линейного программирования:

n

z = ∑cjxj →max ,

j=1

n

∑aijxi =bi , i =1, 2,…, m ,

j=1

xj 0, j =1, 2,…, n ,

и двойственная ей задача:

f= ∑bi yi →min

i=1m

m

∑aijyi cj , j =1, 2,…, n ,

i=1

где переменные y1, y2,…, ym могут принимать значения любого знака. Будем считать, что в исходной задаче величины aij и cj остаются неиз%

менными, а правые части bi системы ограничений подвергаются некото% рым изменениям. Тогда каждому вектору

b1 b = b2 ,bm

ограничений будет отвечать свое оптимальное решение (если оно сущест% вует) и максимальное значение zmax функции цели, т. е.

zmax = zmax (b1, b2,…, bm ).

9

Тесная связь между решениями пары двойственных задач линейного программирования состоит также и в том, что характер изменения вели% чины zmax можно определить с помощью компонент оптимального решения двойственной задачи.

ТРЕТЬЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ (ТЕОРЕМА ОБ ОЦЕНКАХ ВЛИЯНИЯ РЕ2

СУРСОВ НА ВЫПУСК ПРОДУКЦИИ). Значения переменных yi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния правых частей bi системы ограничений исходной задачи на величину максимума ее целевой функции

∂zmax = yi ,

∂bi

т. е. увеличение правой части i%го ограничения приводит к увеличению или уменьшению zmax в зависимости от того, будет ли yi положительным или отрицательным, и при этом скорость изменения zmax определяется

величиной |yi | .

Остается указать на экономическое содержание третьей теоремы двойственности; оно очевидно. Двойственная оценка ресурса — это при% ращение прибыли, приходящееся на единицу приращения этого ресурса. Заметим, что здесь речь идет лишь о достаточно малых приращениях ре% сурсов, так как изменение величины bi в некоторый момент вызовет из% менение оценок yi. Оценки позволяют выявить направление мероприятий по р а с ш и в к е у з к и х м е с т п р о и з в о д с т в а, обеспечивающих получение наибольшего экономического эффекта.

ПРИМЕР 1.1.1. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, ис% пользуя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица A затрат каждого из ресурсов на единицу каждой продукции, вектор b объе% мов ресурсов и вектор c удельной прибыли на единицу каждой продукции:

Требуется определить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.

Решение. Математическая модель задачи такова: требуется найти производственную программу

1 x = x2 ,x3

x4x

максимизирующую прибыль

z =36x1 +14x2 +25x3 +50x4

10