Практикум по ИО

Из рис. 14.1.1 видно, что снижение полезности, вызванное уменьшением количества одного товара, можно, вообще говоря, к о м п е н с и р о в а т ь увеличением количества другого товара. Рассмотрим некоторый набор товаров

x10

x20

= x0

x0 i

x0j

xn0

и предположим, что количество i%го товара изменилось на величину dxi, количество j%го товара изменилось на dxj, а все остальные товары оста% лись в тех же количествах, что и раньше; новый набор товаров

x2

u(x1, x2) = u0 = const

x1

0

Рис. 14.1.1. Поверхность безразличия и градиент функции полезности

141

задачи потребителя (14.1.3) существует и лежит на границе бюджет5 ного множества:

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЯ. Если функция по5

лезности является строго выпуклой вверх, то решение задачи потре5 бителя (14.1.3) является единственным.

Сучетом (14.1.4) задачу потребителя можно переписать в виде к л а с %

си ч е с к о й з а д а ч и н а у с л о в н ы й э к с т р е м у м:

u(x1, x2,…, xn ) →max, (14.1.5) p1x1 +p2x2 + +pnxn = I.

Задачу (14.1.5) можно решить с помощью м е т о д а м н о ж и т е л е й Л а г р а н ж а: функция Лагранжа

L(x1, x2,…, xn , λ) = u(x1, x2,…, xn ) + λ(I −p1x1 −p2x2 − −pnxn ) ,

условный максимум в задаче (14.1.5) совпадает с безусловным максиму% мом функции Лагранжа, который удовлетворяет следующим условиям:

Условия (14.1.6), определяющие оптимальное решение задачи потреби% теля, означают, в частности, что при ценах p1, p2, …, pn потребитель, обла% дающий богатством I, выбирает набор товаров, который соответствует полному использованию богатства I, причем вектор предельных полезно% стей товаров пропорционален вектору цен:

Равенство (14.1.7) можно содержательно интерпретировать в виде вто, рого закона Госсена: взаимозаменяемыми являются такие количества то% варов, которые имеют одинаковую стоимость.

143

Можно сделать еще один вывод из условий (14.1.6): у всех товаров в о п т и м а л ь н о й т о ч к е отношения предельных полезностей к ценам совпадают и равны λ :

∂u/∂x1 = ∂u/∂x2 = = ∂u/∂xn = λ . p1 p2 pn

Это дает ответ на вопрос об экономическом смысле множителя Ла,

ке часть предельной полезности каждого товара, приходящаяся на еди% ницу его цены, равна λ ).

Если из условий (14.1.6) выразить x как функцию от цен и богатства, то получим функцию спроса данного потребителя: x = x (p1, p2,…, pn , I) .

Рассмотрим, как изменится спрос потребителя, если изменится цена одного из товаров (например, j%го).

Предположим вначале, что при изменении цены j%го товара на величи%

оптимального спроса осталась на той же поверхности безразличия, что и старая [иными словами, чтобы полезность набора товаров

то мы получим изменение спроса на i%й товар при изменении цены j%го товара на единицу и сопутствующем компенсирующем изменении богат%

144

I x2

p2

u(x) = const

Рис. 14.1.2. Изменение спроса с компенсацией дохода

Величина (∂xi /∂pj )комп. отражает э ф ф е к т з а м е щ е н и я — при изменении цены j%го товара и компенсирующем изменении богатства по% требитель останется на той же кривой безразличия, что и раньше, для че% го заменит часть j%го товара другими товарами.

Найдем величину такого компенсирующего изменения богатства dI при бесконечно малом изменении цены j%го товара (на dpj) и неизменных ос% тальных ценах [т. е при изменении цен pi всех остальных товаров (с номе% рами k ≠ j ) на dpk =0 ]. Из условий оптимального поведения потребителя (14.1.6) получаем, что

Чтобы полезность не изменилась, необходимо и достаточно, чтобы du = 0 , и поскольку предельная полезность денег λ ≠0 , то

(где мы учли также, что dpk =0 при k ≠ j ).

На самом деле компенсации богатства потребителя при изменении цен не происходит, и изменение спроса потребителя на i%й товар при измене% нии цены j%го товара на единицу равно

145

∂xi <0 . ∂I

В оптимальной точке [согласно (14.1.6)]

n

∑pkxk = I .

k=1

Продифференцируем левую и правую части этого равенства по I:

∑n p ∂xk =1. k=1 k ∂I

Отсюда (с учетом того, что все pk >0 ) следует, что среди частных про% изводных ∂xk /∂I есть хотя бы одна положительная, т. е. обязательно су% ществует хотя бы один ценный товар.

Товар с номером i называется нормальным, если при увеличении его цены спрос на него падает, т. е. если

∂xi <0 , ∂pi

и товаром Гиффина, если при увеличении цены этого товара спрос на не% го растет:

∂xi >0 . ∂pi

Спрос на ценный товар обязательно падает при увеличении его цены: в правой части уравнения Слуцкого (14.1.9), записанного при j = i ,

уменьшаемое отрицательно согласно (14.1.10), а вычитаемое неотрица% тельно, так как ∂xi /∂I >0 согласно (14.1.11), а спрос xi не может быть отрицательным. Таким образом, ценные товары не могут быть товарами

ется масло: если цена мяса увеличится, то потребитель приобретет его меньше, а если увеличится богатство потребителя, то он увеличит по% требление мяса;

• н о р м а л ь н ы е м а л о ц е н н ы е т о в а р ы, примером такого товара служит маргарин: потребитель приобретет меньше маргарина и в том случае, когда увеличится цена маргарина, и в том случае, когда увели% чится богатство потребителя;

147

Можно показать, что для любого товара обязательно найдется другой товар, составляющий с первым взаимозаменяемую пару. В частности, ес% ли рассматривать рынок двух товаров, то эти два товара обязательно должны быть взаимозаменяемыми.

ПРИМЕР 14.1.1. В пространстве трех товаров известен вектор цен p =(2 5 6) , богатство потребителя I = 30 ден. ед. и его функция полезно%

сти u(x1, x2, x3 ) = x1x2x3 . Требуется описать (с помощью системы нера%

венств) бюджетное множество и изобразить его графически. Затем следу% ет определить функцию спроса и рассчитать ее конкретное значение при заданном богатстве I и векторе цен p. После этого нужно убедиться в справедливости уравнения Слуцкого для данного потребителя. Далее следует определить, какие товары являются ценными и малоценными; нормальными товарами и товарами Гиффина; какие товары взаимозаме% няемы, а какие являются взаимодополняющими.

Решение. В рассматриваемом примере система неравенств (14.1.1) при% нимает вид

С геометрической точки зрения (рис. 14.1.4) данное бюджетное множе% ство

представляет собой трехгранную пирамиду, одна вершина которой нахо% дится в начале координат, а три другие — соответственно в точках I/p1 = = 30/2 = 15, I/p2 = 30/5 = 6 и I/p3 = 30/6 = 5 на осях Ox1, Ox2, и Ox3.

x2

I/p2

x3 I/p3

Рис. 14.1.4. Бюджетное множество

Предельные полезности товаров в данном примере равны

149

поэтому условия (14.1.6) для определения функции спроса принимают вид

При данном векторе цен p = (2 5 6) и богатстве I = 30 получаем:

Итак, вектор спроса при данных ценах и данном богатстве таков:

Убедимся теперь, что для данного потребителя действительно выпол% няется уравнение Слуцкого. Рассмотрим, например, что произойдет со спросом при изменении цены первого товара. Пусть цена первого товара

150