Практикум по ИО
.pdf16. МОДЕЛЬ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ
16.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й
Рассмотрим рынок n товаров с k участниками. Пусть вектор
x1j j = xj
x 2
xnj
определяет н а ч а л ь н ы е з а п а с ы |
т о в а р о в у j%го участника, а |
uj (x) = uj (x1, x2,…, xn ) — ф у н к ц и я |
п о л е з н о с т и j%го участника |
(j = 1, 2, …, k). |
|
Предположим, что участники рынка согласны обмениваться товарами. Для этого они должны ввести некоторую д е н е ж н у ю е д и н и ц у и определить в е к т о р р ы н о ч н ы х ц е н p =(p1 p2
Если на рынке будут установлены некоторые цены товаров: p1, p2, …, pn, то начальное богатство каждого участника (до обмена) в денежном выра% жении определяется как
n
Ij = pxj = ∑plxlj , j =1, 2,…, k .
l=1
При этом суммарное предложение i%го товара на рынке будет равно суммарным запасам этого товара у всех участников:
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QiS = ∑xij , |
|
i =1, 2,…, n . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно для каждого участника поставить з а д а ч у |
п о т р е % |
|||||||||||||||||
б и т е л я и определить ф у н к ц и и |
с п р о с а участников рынка: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,…, pn |
, ∑plxl |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
p1, p2 |
|
|
||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l=1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
(p |
, p |
,…, p , |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|||
j |
|
|
|
(p1, p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
,…, pn |
, ∑plxl |
|
|
||
|
x2 |
,…, pn , Ij ) |
|
x2 |
p1, p2 |
|
(16.1.1) |
|||||||||||
x |
(p1, p2, p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
l=1 |
|
|||
, Ij ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
p |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
( 1, 2,…, n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,…, pn |
|
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn p1, p2 |
, ∑plxl |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1, 2,…, k.
Таким образом, суммарный спрос всех участников на i%й товар будет равен
161
Т а б л и ц а 16.1.1
–14 |
9 |
|
16 |
0 |
|
7 |
|
–18 |
16 |
0 |
|
7 |
9 |
|
–32 |
0 |
|
0 |
|
–27 |
|
48 |
0 |
1 |
–18/7 |
16/7 |
0 |
||
0 |
27 |
|
–48 |
0 |
|
0 |
1 |
|
–16/9 |
0 |
|
1 |
0 |
|
–16/7 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
При таких ценах начальные запасы участников рынка определяют их богатство:
I1 = p1 |
+2p2 |
+3p3 |
= |
112 +2 |
144 |
+3 63 |
=589, |
|
I2 |
= 2p1 |
+2p2 |
+2p3 |
=2 112 +2 144 +2 63 = 638, |
||||
I3 |
=3p1 |
+4p2 +5p3 = |
3 112 +4 |
144 |
+5 63 |
. |
||
=1227, |
||||||||
I4 |
= p1 + p2 +6p3 = |
112 + |
144 |
+6 63 |
=634. |
Теперь можно определить равновесное распределение товаров:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
589 |
|
|
|
|
589 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
638 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 112 |
|
336 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
336 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
589 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
589 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
638 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
x |
(p |
, p |
, p |
|
, I ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
(p |
, p , p |
, I ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 144 |
|
432 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
432 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
589 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
589 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
638 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
|
|
3 |
|
63 |
|
|
|
189 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
189 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
1227 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
4 |
|
|
|
|
|
|
634 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
336 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
336 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I4 |
|
|
|
|
|
634 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1227 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
(p |
, p |
, p , |
|
I ) = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
x |
|
(p |
, p , p , I |
) = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 3 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 4 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
432 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
432 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1227 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
634 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
189 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
|
|
|
|
189 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.2. З а д а н и е п р а к т и к у м а
Рассматривается рынок трех товаров. Четыре участника рынка обладают одинаковыми функциями полезности u(x1, x2, x3 ) (такими же, как в модели поведения потребителя, они приведены для каждого варианта в табл. 14.2.1), начальные запасы товаров у участников рынка составляют соответственно
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = x1 |
, |
x2 = x2 |
, |
x3 = x3 |
, |
x4 = x4 |
|
||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
x3 |
|
x3 |
|
x3 |
|
x3 |
|
(векторы x1 — x4 приведены для каждого варианта в табл. 16.2.1). Требуется определить равновесное распределение товаров между че%
тырьмя участниками рынка.
164
17. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА
17.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й
Идеи модели межотраслевого баланса, рассматриваемой в данном раз% деле, впервые возникли в 1920%х гг. в работах экономистов молодой Со% ветской России, которые строили модель плановой экономики, удовле% творяющей спрос конечных потребителей. Наибольшее развитие эти идеи получили в трудах В. Леонтьева, эмигрировавшего к тому времени в США. В 1973 г. за эти исследования В. Леонтьеву была присуждена Нобе% левская премия в области экономики.
Пусть производственный сектор национальной экономики разделен на n ч и с т ы х о т р а с л е й (например, «машиностроение», «энергетика», «транспорт» и т. д.), каждая отрасль производит один вид продукции, различные отрасли выпускают разную продукцию. В процессе производ% ства каждая отрасль может расходовать как свою продукцию, так и про% дукцию других отраслей, поэтому на непроизводственное потребление, вообще говоря, идет не вся выпущенная продукция (часть ее тратится в процессе производства).
Введем обозначения: aij — количество продукции i%й отрасли, расхо% дуемое в процессе производства единицы продукции j%й отрасли, xi — план выпуска i%й отрасли, ci — спрос на продукцию i%й отрасли в непро% изводственной сфере.
Матрица A = (aij) называется матрицей прямых затрат. Если считать сложившиеся производственные технологии н е и з м е н н ы м и в о в р е м е н и, то матрица A будет постоянной.
Кроме того, будем считать технологии л и н е й н ы м и: если для вы% пуска единицы продукции j%й отрасли необходимо израсходовать aij еди% ниц продукции i%й отрасли, то для выпуска xj единиц продукции j%й от% расли необходимо израсходовать aijxj единиц продукции i%й отрасли.
В этих предположениях объем продукции i%й отрасли, потребляемый всеми n отраслями в процессе производства, равен
n
∑aijxj , j=1
поэтому на конечное непроизводственное потребление остается
n
xi −∑aijxj j=1
единиц продукции i%й отрасли.
Значит, чтобы конечный спрос был обеспечен, необходимо выполнение б а л а н с о в ы х р а в е н с т в
n
xi −∑aijxj = сi , i =1, 2,…, n .
j=1
166
18. МОДЕЛЬ СОЛОУ
18.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й
Опишем модель национальной экономики, предложенную в 1956 г. Р. Солоу, Нобелевским лауреатом 1987 г. в области экономики.
В замкнутой односекторной экономической системе производится один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инве% стироваться. О с н о в н ы е п р е д п о л о ж е н и я м о д е л и С о л о у состоят в постоянстве темпа прироста числа занятых, износа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутствии лага (т. е. за% паздывания) капиталовложений.
Состояние экономики в момент времени t определяется следующими показателями:
• в а л о в ы м в н у т р е н н и м п р о д у к т о м Xt ,
• о с н о в н ы м и п р о и з в о д с т в е н н ы м и ф о н д а м и Kt ,
• ч и с л о м з а н я т ы х в производственной сфере Lt ,
• в а л о в ы м и и н в е с т и ц и я м и It ,
• ф о н д о м н е п р о и з в о д с т в е н н о г о п о т р е б л е н и я Ct .
Пусть г о д о в о й т е м п п р и р о с т а ч и с л а з а н я т ы х состав% ляет ν , тогда за промежуток времени dt численность занятых изменяет% ся на величину dLt = νLtdt , значит, для Lt можно записать дифференци% альное уравнение
dLt =νLt , dt
решением которого является функция
Lt = L0 eνt ,
где L0 — число занятых в начальный момент времени.
Пусть за год выбывает (изнашивается и приходит в негодность) доля μ основных производственных фондов, н о р м а н а к о п л е н и я состав% ляет ρ, а годовой валовый внутренний продукт определяется л и н е й %
н о % о д н о р о д н о й неоклассической производственной функцией |
||
X = F(K,L) . Тогда и з н о с |
и и н в е с т и ц и и в расчете на год равны |
|
μKt и It =ρXt |
=ρF(Kt ,Lt ) соответственно, лаг капиталовложений отсутст% |
|
вует, значит, |
п р и р о с т |
ф о н д о в за промежуток времени dt состав% |
ляет dKt = −μKtdt +Itdt или dKt =[−μKt |
+ρF(Kt ,Lt )]dt . |
||||
Перепишем это уравнение в виде |
|
|
|
||
|
dKt |
|
|
|
|
|
= −μKt +ρLtF |
Kt |
,1 , |
||
|
|
|
|||
|
dt |
Lt |
|
||
170 |
|
|
|
|
|