Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Практикум по ИО

.pdf
Скачиваний:
158
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
1.6 Mб
Скачать
pn ) .

16. МОДЕЛЬ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ

16.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Рассмотрим рынок n товаров с k участниками. Пусть вектор

x1j j = xj

x 2

xnj

определяет н а ч а л ь н ы е з а п а с ы

т о в а р о в у j%го участника, а

uj (x) = uj (x1, x2,…, xn ) — ф у н к ц и я

п о л е з н о с т и j%го участника

(j = 1, 2, …, k).

 

Предположим, что участники рынка согласны обмениваться товарами. Для этого они должны ввести некоторую д е н е ж н у ю е д и н и ц у и определить в е к т о р р ы н о ч н ы х ц е н p =(p1 p2

Если на рынке будут установлены некоторые цены товаров: p1, p2, …, pn, то начальное богатство каждого участника (до обмена) в денежном выра% жении определяется как

n

Ij = pxj = plxlj , j =1, 2,…, k .

l=1

При этом суммарное предложение i%го товара на рынке будет равно суммарным запасам этого товара у всех участников:

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QiS = xij ,

 

i =1, 2,…, n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь можно для каждого участника поставить з а д а ч у

п о т р е %

б и т е л я и определить ф у н к ц и и

с п р о с а участников рынка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,…, pn

, plxl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

p1, p2

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l=1

 

 

 

 

 

1

2

n

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

(p

, p

,…, p ,

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

j

 

 

 

(p1, p2

 

 

 

 

 

 

 

 

,…, pn

, plxl

 

 

 

x2

,…, pn , Ij )

 

x2

p1, p2

 

(16.1.1)

x

(p1, p2, p3

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

l=1

 

, Ij ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

p

p

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

( 1, 2,…, n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

j )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,…, pn

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn p1, p2

, plxl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j =1, 2,…, k.

Таким образом, суммарный спрос всех участников на i%й товар будет равен

161

 

D

k

j

 

 

n

 

j

 

 

Q

=

x

 

 

 

p x

 

i =1, 2,…, n .

 

p , p ,…, p ,

 

,

i

 

i

 

1 2

n

 

l

l

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

l=1

 

 

 

Согласно закону Вальраса р ы н о ч н о е

 

р а в н о в е с и е определяет%

ся равенством суммарного спроса и суммарного предложения по каждому товару:

QiD = QiS , i =1, 2,…, n

или

k

j

 

 

n

 

j

 

 

k

j

 

 

 

x

 

 

 

p x

 

=

x

,

i =1, 2,…, n.

(16.1.2)

 

p , p ,…, p ,

 

 

 

 

i

 

1 2

n

 

l

l

 

 

 

i

 

 

 

j=1

 

 

 

 

l=1

 

 

 

j=1

 

 

 

 

Можно показать, что одно из уравнений данной системы обязательно является следствием остальных, поэтому цены p1, p2,…, pn определяются из этой системы с точностью до коэффициента пропорциональности. Это очевидно: ведь цены зависят от выбора денежной единицы.

Таким образом, можно определить равновесное конечное распределе% ние товаров между участниками рынка, подставив в функции спроса (16.1.1) равновесные цены, определенные из системы (16.1.2).

ПРИМЕР 16.1.1. Рассматривается рынок трех товаров. Требуется опреде% лить равновесное распределение товаров между четырьмя участниками рынка, если эти участники обладают одинаковыми функциями полезно% сти u(x1, x2, x3 ) = x1x2x3 , а начальные запасы товаров у участников рын% ка составляют

 

 

x1

1

 

 

x2

2

 

 

x3

3

 

 

x4

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

2

 

 

3

 

3

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

= x2

 

= 2 ,

 

= x2

 

= 2 ,

 

= x2

 

= 4 ,

 

= x2

 

= 1 .

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

x

 

 

2

 

 

x

 

 

5

 

 

x

 

 

6

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

Решение.

Пусть цены

товаров

на

рынке

определяются вектором

p =(p1 p2

p3 ) , тогда начальное богатство первого участника составит

 

I = px1 = p x1

+ p x1

+ p x1

= p +2p +3p .

 

1

1

1

2

2

3

3

1

2

3

Аналогично определяется начальное богатство второго, третьего и чет% вертого участников рынка:

I2 =px2 =2p1 +2p2 +2p3, I3 =px3 =3p1 +4p2 +5p3, I4 =px4 = p1 +p2 +6p3 .

Функции спроса участников одинаковы, так как функция полезности у

них одна и та же. Для данной (14.1.12):

xj (p1, p2, p3, Ij ) =

162

функции полезности функция спроса

Ij

/(3p1)

 

 

 

 

 

 

 

j

2

 

j =1, 2, 3, 4,

 

 

I

 

/(3p

) ,

 

 

 

 

 

 

j

3

 

 

 

 

 

I

 

/(3p )

 

была определена в примере 14.1.1.

Суммарный спрос на первый товар составляет

QD =

I1

+

I2

+

I3

+

I4

=

 

 

 

 

1

3p1

 

3p1 3p1

 

3p1

 

 

 

= (p1 +2p2 +3p3 ) +(2p1 +2p2 +2p3 ) +(3p1 +4p2 +5p3 ) +(p1 +p2 +6p3 ) = 3p1

= 7p1 +9p2 +16p3 , 3p1

аналогично определяется суммарный спрос на второй и третий товары:

QD =

7p1 +9p2 +16p3

, QD =

7p1 +9p2 +16p3

.

 

 

2

3p2

3

3p3

 

 

Суммарное предложение первого товара равно

Q1S = x11 + x12 + x13 + x14 =1+2 +3 +1=7,

Q2S = x21 + x22 + x23 + x24 = 2 +2 +4 +1= 9,

Q3S = x31 + x32 + x33 + x34 =3 +2 +5 +6 =16.

Запишем условие равенства суммарного спроса и суммарного предло% жения каждого товара:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

= Q

S

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2

= Q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QD = QS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7p

+9p

+16p

=7,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7p +9p

+16p =21p ,

−14p +9p +16p =0,

 

 

7p

+9p

+16p

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

1

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

=9,

 

 

 

+9p

+16p =27p ,

 

 

−18p

+16p =0,

 

 

 

 

 

7p

 

7p

 

3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

2

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

+9p2

+16p3 = 48p3

 

7p1

+9p2

−32p3 =0.

 

 

 

+9p

+16p

 

 

7p1

 

 

7p

=16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение данной системы уравнений с помощью метода Жордана — Гаусса иллюстрируется табл. 16.1.1.

Таким образом, общее решение системы для определения равновесных цен таково:

p =

16

α, p =

16

α, p = α,

 

 

1

9

2

7

3

 

 

 

где, очевидно, цена третьего товара α>0 . Ясно, что цены определяются относительно, поэтому для удобства положим p3 = α=63 ден. ед., тогда

p =

16

63 =112

ден. ед.,

p =

16

63 =144

ден. ед.

 

 

1

9

 

 

2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

163

Т а б л и ц а 16.1.1

–14

9

 

16

0

7

 

–18

16

0

7

9

 

–32

0

0

 

–27

 

48

0

1

–18/7

16/7

0

0

27

 

–48

0

0

1

 

–16/9

0

1

0

 

–16/7

0

0

0

 

0

0

При таких ценах начальные запасы участников рынка определяют их богатство:

I1 = p1

+2p2

+3p3

=

112 +2

144

+3 63

=589,

I2

= 2p1

+2p2

+2p3

=2 112 +2 144 +2 63 = 638,

I3

=3p1

+4p2 +5p3 =

3 112 +4

144

+5 63

.

=1227,

I4

= p1 + p2 +6p3 =

112 +

144

+6 63

=634.

Теперь можно определить равновесное распределение товаров:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

589

 

 

 

 

589

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

638

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3 112

 

336

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

336

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

589

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

589

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

638

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

=

 

 

 

 

x

(p

, p

, p

 

, I ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

(p

, p , p

, I ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

1

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3 2

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 144

 

432

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

432

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

589

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

589

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

638

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

3

 

63

 

 

 

189

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

189

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

1227

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

4

 

 

 

 

 

 

634

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

336

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

336

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I4

 

 

 

 

 

634

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1227

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

(p

, p

, p ,

 

I ) =

 

 

 

 

 

=

 

 

 

,

x

 

(p

, p , p , I

) =

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3 3

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3 4

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

432

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

432

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1227

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

634

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

189

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

189

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.2. З а д а н и е п р а к т и к у м а

Рассматривается рынок трех товаров. Четыре участника рынка обладают одинаковыми функциями полезности u(x1, x2, x3 ) (такими же, как в модели поведения потребителя, они приведены для каждого варианта в табл. 14.2.1), начальные запасы товаров у участников рынка составляют соответственно

x1

x2

x3

x4

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = x1

,

x2 = x2

,

x3 = x3

,

x4 = x4

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

x3

 

x3

 

x3

 

x3

 

(векторы x1 — x4 приведены для каждого варианта в табл. 16.2.1). Требуется определить равновесное распределение товаров между че%

тырьмя участниками рынка.

164

Т а б л и ц а 16.2.1

Исходные данные

вар.

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

 

 

2

 

3

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

3

 

 

5

 

4

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

2

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

3

 

5

 

2

 

 

1

 

2

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

2

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

2

 

1

 

 

2

 

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

6

 

2

 

6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

2

 

 

2

 

3

 

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

3

 

4

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

5

 

5

 

2

 

 

1

 

2

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

1

 

2

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

6

 

 

2

 

3

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

2

 

3

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

3

 

 

4

 

4

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

4

 

2

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

4

 

2

 

 

1

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

1

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

2

 

1

 

 

1

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

4

 

2

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

2

 

2

 

 

2

 

3

 

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

3

 

2

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

5

 

5

 

2

 

 

1

 

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

1

 

1

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

3

Исходные данные

вар.

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

 

 

2

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

2

 

3

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

1

 

3

 

 

2

 

4

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

2

 

2

 

 

2

 

2

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

4

 

2

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

3

 

2

 

5

 

 

2

 

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

2

 

6

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

2

 

 

2

 

5

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

3

 

4

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

3

 

2

 

 

1

 

2

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

1

 

3

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

5

 

 

2

 

1

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

2

 

3

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

3

 

2

 

 

1

 

4

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

5

 

2

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

2

 

2

 

 

1

 

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

1

 

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

2

 

1

 

 

2

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

2

 

4

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

3

 

2

 

 

3

 

2

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

2

 

3

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

4

 

4

 

2

 

 

3

 

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

5

 

1

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

3

Исходные данные

вар.

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

 

 

3

 

3

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

2

 

3

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

3

 

3

 

 

5

 

4

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

5

 

2

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2

 

5

 

6

 

 

1

 

2

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

2

 

2

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

2

 

4

 

 

1

 

2

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

2

 

2

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

2

 

3

 

 

2

 

5

 

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

3

 

4

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

3

 

5

 

 

1

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

1

 

5

 

5

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

3

 

 

3

 

2

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

1

 

2

 

 

1

 

4

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

5

 

2

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

1

 

2

 

 

2

 

2

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

5

 

2

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

2

 

1

 

 

1

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34

 

2

 

2

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

2

 

2

 

 

3

 

5

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

2

 

4

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2

 

2

 

2

165

17. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА

17.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Идеи модели межотраслевого баланса, рассматриваемой в данном раз% деле, впервые возникли в 1920%х гг. в работах экономистов молодой Со% ветской России, которые строили модель плановой экономики, удовле% творяющей спрос конечных потребителей. Наибольшее развитие эти идеи получили в трудах В. Леонтьева, эмигрировавшего к тому времени в США. В 1973 г. за эти исследования В. Леонтьеву была присуждена Нобе% левская премия в области экономики.

Пусть производственный сектор национальной экономики разделен на n ч и с т ы х о т р а с л е й (например, «машиностроение», «энергетика», «транспорт» и т. д.), каждая отрасль производит один вид продукции, различные отрасли выпускают разную продукцию. В процессе производ% ства каждая отрасль может расходовать как свою продукцию, так и про% дукцию других отраслей, поэтому на непроизводственное потребление, вообще говоря, идет не вся выпущенная продукция (часть ее тратится в процессе производства).

Введем обозначения: aij — количество продукции i%й отрасли, расхо% дуемое в процессе производства единицы продукции j%й отрасли, xi — план выпуска i%й отрасли, ci — спрос на продукцию i%й отрасли в непро% изводственной сфере.

Матрица A = (aij) называется матрицей прямых затрат. Если считать сложившиеся производственные технологии н е и з м е н н ы м и в о в р е м е н и, то матрица A будет постоянной.

Кроме того, будем считать технологии л и н е й н ы м и: если для вы% пуска единицы продукции j%й отрасли необходимо израсходовать aij еди% ниц продукции i%й отрасли, то для выпуска xj единиц продукции j%й от% расли необходимо израсходовать aijxj единиц продукции i%й отрасли.

В этих предположениях объем продукции i%й отрасли, потребляемый всеми n отраслями в процессе производства, равен

n

aijxj , j=1

поэтому на конечное непроизводственное потребление остается

n

xi aijxj j=1

единиц продукции i%й отрасли.

Значит, чтобы конечный спрос был обеспечен, необходимо выполнение б а л а н с о в ы х р а в е н с т в

n

xi aijxj = сi , i =1, 2,…, n .

j=1

166

Эти равенства можно записать в м а т р и ч н о й ф о р м е: x Ax = с или (EA)x = с ,

где

x1

x = x2 xn

вектор валового выпуска,

c1

c = c2 cn

вектор конечного непроизводственного потребления,

1

0

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

0

 

 

 

 

E =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

1

 

 

 

 

 

единичная матрица.

Из матричной формы модели Леонтьева

(EA)x = c

можно выразить зависимость вектора валового выпуска x от вектора ко% нечного непроизводственного потребления c:

x =(E A)−1 c ,

матрица (E A)−1 называется при этом матрицей полных затрат. Модель Леонтьева называется продуктивной, если она разрешима в

неотрицательных x.

ПРИМЕР 17.1.1. В модели Леонтьева даны матрица прямых затрат

A= 1/2 1/4

1/3 1/2

и вектор конечного спроса

c = 3 . 2

Требуется найти вектор x валового выпуска, обеспечивающий данный спрос.

167

Решение. Найдем матрицу полных затрат (E A)–1:

 

1/2

−1/4

EA =

 

,

 

 

 

−1/3

1/2

процесс вычисления матрицы (E A)–1 с помощью метода Жордана — Га% усса иллюстрируется табл. 17.1.1.

Т а б л и ц а 17.1.1

 

1/2

 

–1/4

1

0

–1/3

1/2

 

0

1

1

 

1/2

 

2

0

0

 

 

1/3

 

2/3

1

1

 

0

 

3

3/2

0

 

1

 

2

3

Теперь поясним, как получить тот же результат в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу (E A) в ячейки A2:C3 рабочего листа Microsoft Ex% cel, как показано на рис. 17.1.1, а.

Матрица (E A)–1 имеет две строки и два столбца, отведем под резуль% тат ячейки D2:E3. В ячейку D2 введем формулу «=МОБР(A2:B3)», причем эту формулу необходимо ввести как ф о р м у л у м а с с и в а. Для этого нужно мышью выделить диапазон D2:E3, начиная с ячейки D2, содержа% щей формулу, затем нажать клавишу <F2>, а затем — комбинацию кла% виш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. Результат представлен на рис. 17.1.1, б (в ячейках D2:E3). Замечаем, что результаты ручного и компьютерного вы% числения обратной матрицы совпали. Если формулу ввести не как фор% мулу массива, то будет рассчитан только левый верхний элемент резуль% тата: число 3.

1

2

3

A

B

C

D

 

E

 

E – A

 

 

(E – A)–1

 

 

0,5

–0,25

 

=МОБР(A2:B3)

 

–0,33333

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) формула Microsoft Excel

 

A

B

C

D

E

1

E – A

 

 

(E – A)–1

 

2

 

 

0,5

–0,25

3

1,5

 

3

 

 

–0,33333

0,5

2

3

б) результаты расчета Рис. 17.1.1. Вычисление матрицы полных затрат

с помощью Microsoft Excel

Таким образом, матрица полных затрат

−1

3

3/2

 

 

(EA)

=

,

 

 

 

 

2

3

168

Теперь можно найти вектор валового выпуска, обеспечивающий конеч% ный спрос c:

−1 3

3/2 3

12

 

 

 

 

 

 

 

.

x =(E A) c =

 

=

 

 

 

 

 

2

3 2

12

17.2. З а д а н и е п р а к т и к у м а

Матрица прямых затрат A и вектор конечного спроса c в модели Леон% тьева приведены для каждого варианта в табл. 17.2.1. Требуется найти вектор x валового выпуска, обеспечивающий данный спрос.

Т а б л и ц а 17.2.1

A

 

c

 

вар.

 

 

 

 

 

 

1

2/5

1/5

1

 

 

 

 

 

 

1/8

1/4

4

 

2

1/3

1/4

1

 

 

 

 

 

 

1/3

1/4

3

 

3

1/3

1/6

1

 

 

 

 

 

 

1/2

1/4

3

 

 

1/2

1/4

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/4

1/4

1

5

2/5

1/5

1

 

 

 

 

 

 

1/3

1/3

5

 

6

1/4

1/8

1

 

 

 

 

 

 

1/5

2/5

2

 

7

1/4

1/3

4

 

 

 

 

 

 

1/4

1/3

2

 

8

1/3

1/2

6

 

 

 

 

 

 

1/6

1/3

2

 

9

1/4

1/4

2

 

 

 

 

 

 

1/4

1/2

6

 

10

1/3

1/3

10

 

 

 

 

 

1/4

1/5

2

 

11

1/4

1/3

1

 

 

 

 

 

 

1/4

1/2

3

 

12

1/3

1/3

3

 

 

 

 

 

 

1/3

1/5

2

 

 

A

 

c

вар.

 

 

 

 

 

 

13

1/5

2/5

 

2

 

 

 

 

 

1/8

1/4

 

4

14

1/2

1/4

 

1

 

 

 

 

 

1/2

1/3

 

2

15

1/3

1/5

 

3

 

 

 

 

 

1/2

1/4

 

3

 

1/2

1/2

2

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

1/4

1

17

2/5

3/5

 

3

 

 

 

 

 

1/3

1/3

 

5

18

1/4

1/8

 

3

 

 

 

 

 

3/5

2/5

 

2

19

1/4

2/3

 

4

 

 

 

 

 

1/4

2/3

 

3

20

1/4

1/2

 

4

 

 

 

 

 

1/6

2/3

 

2

21

1/4

1/4

 

1

 

 

 

 

 

2/3

1/2

 

5

22

2/3

1/3

10

 

 

 

 

 

1/4

2/5

20

23

1/4

1/3

 

2

 

 

 

 

 

2/3

1/2

 

3

24

1/3

1/3

 

3

 

 

 

 

 

3/5

1/5

 

5

 

A

c

 

вар.

 

 

 

 

 

 

25

2/3

1/3

6

 

 

 

 

 

 

1/8

1/4

4

 

26

1/2

1/4

3

 

 

 

 

 

 

1/3

1/4

3

 

27

1/3

1/5

4

 

 

 

 

 

 

2/5

1/4

4

 

 

1/3

1/5

5

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/5

1/5

5

29

2/3

1/3

4

 

 

 

 

 

 

1/5

1/5

5

 

30

1/4

1/4

12

 

 

 

 

 

1/3

2/3

12

31

1/3

1/4

6

 

 

 

 

 

 

1/3

1/4

6

 

32

1/3

1/3

6

 

 

 

 

 

 

1/6

1/2

3

 

33

1/3

2/5

5

 

 

 

 

 

 

1/3

1/5

5

 

34

1/4

1/4

10

 

 

 

 

 

1/3

2/3

12

35

1/2

3/5

12

 

 

 

 

 

1/2

1/4

8

 

 

 

 

 

 

169

18. МОДЕЛЬ СОЛОУ

18.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Опишем модель национальной экономики, предложенную в 1956 г. Р. Солоу, Нобелевским лауреатом 1987 г. в области экономики.

В замкнутой односекторной экономической системе производится один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инве% стироваться. О с н о в н ы е п р е д п о л о ж е н и я м о д е л и С о л о у состоят в постоянстве темпа прироста числа занятых, износа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутствии лага (т. е. за% паздывания) капиталовложений.

Состояние экономики в момент времени t определяется следующими показателями:

• в а л о в ы м в н у т р е н н и м п р о д у к т о м Xt ,

• о с н о в н ы м и п р о и з в о д с т в е н н ы м и ф о н д а м и Kt ,

• ч и с л о м з а н я т ы х в производственной сфере Lt ,

• в а л о в ы м и и н в е с т и ц и я м и It ,

• ф о н д о м н е п р о и з в о д с т в е н н о г о п о т р е б л е н и я Ct .

Пусть г о д о в о й т е м п п р и р о с т а ч и с л а з а н я т ы х состав% ляет ν , тогда за промежуток времени dt численность занятых изменяет% ся на величину dLt = νLtdt , значит, для Lt можно записать дифференци% альное уравнение

dLt Lt , dt

решением которого является функция

Lt = L0 eνt ,

где L0 — число занятых в начальный момент времени.

Пусть за год выбывает (изнашивается и приходит в негодность) доля μ основных производственных фондов, н о р м а н а к о п л е н и я состав% ляет ρ, а годовой валовый внутренний продукт определяется л и н е й %

н о % о д н о р о д н о й неоклассической производственной функцией

X = F(K,L) . Тогда и з н о с

и и н в е с т и ц и и в расчете на год равны

μKt и It Xt

F(Kt ,Lt ) соответственно, лаг капиталовложений отсутст%

вует, значит,

п р и р о с т

ф о н д о в за промежуток времени dt состав%

ляет dKt = −μKtdt +Itdt или dKt =[−μKt

F(Kt ,Lt )]dt .

Перепишем это уравнение в виде

 

 

 

 

dKt

 

 

 

 

= −μKt LtF

Kt

,1 ,

 

 

 

 

dt

Lt

 

170