Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт гуманитарного образования и информационных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по ИО

.pdf

Скачиваний:

163

Добавлен:

05.02.2016

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

предприятиям, а функцию состояния Fk (ξ) определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают ξ руб. Па% раметр ξ может изменяться от 0 до b.

Если из ξ руб. k%е предприятие получит xk руб., то каково бы ни было это значение, остальные ( ξ−xk ) руб. естественно распределить между пред% приятиями от первого до (k −1)%го так, чтобы была получена максималь% ная прибыль Fk−1(ξ−xk ) .

Тогда прибыль k предприятий будет равна fk (xk ) +Fk−1(ξ−xk ) . Надо вы% брать такое значение xk между 0 и ξ, чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению

Fk (ξ) = maxξ{fk (xk ) +Fk−1(ξ−xk )}

0 xk

для k = 2, 3, …, n. Если же k = 1, то

F1(ξ) = f1(ξ) .

ПРИМЕР 6.1.1. Производственное объединение состоит из четырех пред% приятий (n = 4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 млн. руб. (b = 700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 млн. руб. Если j%е предприятие получает инвестиции в объеме ξ млн. руб., то прирост годо% вой прибыли на этом предприятии составит f j (ξ) млн. руб. в год. Значе% ния функций f j (ξ) приведены в табл. 6.1.1. Требуется найти такое рас% пределение

x
	1
x x2

инвестиций между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли на всех предприятиях вместе.

								Т а б л и ц а 6.1.1

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(ξ)	0	20	34	46	53	55	60	60
f2(ξ)	0	18	29	45	62	78	90	98
f3(ξ)	0	25	41	52	74	82	88	90
f4(ξ)	0	30	52	76	90	104	116	125

Решение. Прежде всего заполняем табл. 6.1.2. Значения f2(ξ) складыва% ем со значениями F1(ξ−x2) = f1(ξ−x2) и на каждой северо%восточной диа% гонали находим наибольшее число (которое выделяем жирным и обводим рамкой) и указываем соответствующее значение x2 (ξ) .

Затем заполняем табл. 6.1.3.

									Т а б л и ц а		6.1.2
		ξ – x2	0	100	200	300	400	500	600	700
x2		F1(ξ−x2 )	0	20	34	46	53	55	60	60
x2	f2	(x2 )	0	20	34	46	53	55	60	60
	f2	(x2 )
0		0	0	20	34	46	53	55	60	60
100		18	18	38	52	64	71	73	78
200		29	29	49	63	75	82	84
300		45	45	65	79	91	98
400		62	62	82	96	108
500		78	78	98	112
600		90	90	110
700		98	98

																Т а б л и ц а		6.1.3
	ξ	0	100		200		300		400		500		600		700
	F2(ξ)	0	20			38		52		65		82		98	112
	x (ξ)	0		0	100		100		300		400		500		500
	2
Продолжая процесс, табулируем функции											F (ξ), x (ξ)				и т. д. (табл. 6.1.4—
												3		3
6.1.5). В табл. 6.1.6 заполняем только одну диагональ для значения ξ = 700.
Наибольшее число на этой диагонали
				zmax =155 млн. руб.,
причем четвертому предприятию должно быть выделено
			x	= x	(700) =300 млн. руб.
			4	4
																Т а б л и ц а		6.1.4
	ξ – x3			0		100		200		300		400		500		600	700
x3		F2 (ξ−x3 )				20		38		52		65		82		98	112
x3	f3 (x3 )			0		20		38		52		65		82		98	112
	f3 (x3 )
0		0		0		20		38		52		65		82		98	112
100		25		25		45		63		77		90		107		123
200		41		41		61		79		93		106		123
300		52		52		72		94		112		126
400		74		74		94		112		126
500		82		82		102		120
600		88		88		106
700		90		90

Т а б л и ц а 6.1.5

ξ	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(ξ)	0	25	45	63	79	94	112	126
x (ξ)	0	100	100	100	200	400	400	400
3

									Т а б л и ц а		6.1.6
		ξ – x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4		F3 (ξ−x4 )	0	25	45	63	79	94	112	126
x4	f4	(x4 )	0	25	45	63	79	94	112	126
	f4	(x4 )
0		0								126
100		30							142
200		52						146
300		76					155
400		90				153
500		104			149
600		116		141
700		125	125

На долю остальных трех предприятий остается 400 млн. руб. Из табл. 6.1.5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

x3 = x3 (700 −x4 ) = x3 (400) =200 млн. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

x2 = x2 (700 −x4 −x3 ) = x2 (200) =100 млн. руб.

На долю первого предприятия остается

x1 =700 −x4 −x3 −x2 =100 млн. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капи% тальных вложений по предприятиям:

x1 =100, x2 =100, x3 =200, x4 =300.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший воз% можный прирост прибыли 155 млн. руб.

Студенту рекомендуется проверить выполнение равенства

f1(x1) + f2(x2) + f3 (x3 ) + f4 (x4 ) = zmax .

6.2. З а д а н и е п р а к т и к у м а

Производственное объединение состоит из четырех предприятий (n = 4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 млн. руб. (b = 700), выде% ляемые предприятиям суммы кратны 100 млн. руб. Если j%е предприятие получает инвестиции в объеме ξ млн. руб., то прирост годовой прибыли на этом предприятии составит f j (ξ) млн. руб. в год (j = 1, 2, 3, 4). Значения функций f j (ξ) известны и для каждого варианта компактно записаны в табл. 6.2.1 в следующем виде:

f1(0)	f1(100)	f1(200)	f1(300)	f1(400)	f1(500)	f1(600)	f1(700)
f2(0)	f2(100)	f2(200)	f2(300)	f2(400)	f2(500)	f2(600)	f2(700)
f3(0)	f3(100)	f3(200)	f3(300)	f3(400)	f3(500)	f3(600)	f3(700)
f4(0)	f4(100)	f4(200)	f4(300)	f4(400)	f4(500)	f4(600)	f4(700)

Требуется найти такое распределение инвестиций между предпри% ятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли на всех предприятиях вместе. Для этого необходимо составить математическую модель динамической задачи распределения инвестиций и решить ее ме% тодом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вы% числительного процесса.

Т а б л и ц а 6.2.1

№ вар.			Исходные данные
	0	20	44	55	63	67	70	70
1	0	18	29	49	72	87	100	108
1	0	25	41	52	74	82	88	90
	0	25	41	52	74	82	88	90
	0	30	52	76	90	104	116	125
	0	15	24	30	36	40	43	45
2	0	18	26	34	39	42	44	46
2	0	16	27	37	44	48	50	56
	0	16	27	37	44	48	50	56
	0	10	17	23	29	34	38	41
	0	42	58	71	80	89	95	100
3	0	30	49	63	68	69	65	60
3	0	22	37	49	59	68	76	82
	0	22	37	49	59	68	76	82
	0	50	68	82	92	100	107	112
	0	37	64	87	105	120	134	145
4	0	48	75	98	120	132	144	156
4	0	85	100	111	118	124	129	132
	0	85	100	111	118	124	129	132
	0	47	70	80	86	91	94	98
	0	10	20	30	38	43	49	52
5	0	13	25	37	47	55	61	66
5	0	6	13	20	27	33	38	41
	0	6	13	20	27	33	38	41
	0	24	36	42	46	48	48	49
	0	5	10	14	17	19	21	22
6	0	8	13	18	21	23	21	17
6	0	10	16	21	24	27	29	30
	0	10	16	21	24	27	29	30
	0	11	19	26	30	33	35	36
	0	28	45	65	78	90	102	113
7	0	25	41	55	65	75	80	85
7	0	15	25	40	50	62	73	82
	0	15	25	40	50	62	73	82
	0	20	33	42	48	53	56	58
	0	28	42	51	57	61	64	66
8	0	20	27	30	31	32	32	33
8	0	8	26	37	47	53	58	61
	0	8	26	37	47	53	58	61
	0	5	20	29	36	41	45	47
	0	5	10	14	17	19	21	22
9	0	20	34	45	50	48	40	40
9	0	15	24	30	38	46	52	53
	0	15	24	30	38	46	52	53
	0	26	30	35	40	45	48	50
	0	3	5	7	8	9	10	10
10	0	5	8	10	12	13	14	15
10	0	8	13	17	20	23	25	27
	0	8	13	17	20	23	25	27
	0	6	10	13	15	16	16	16

№ вар.			Исходные данные
	0	15	26	38	45	52	58	63
11	0	10	17	23	29	34	38	41
11	0	11	19	26	30	33	35	36
	0	11	19	26	30	33	35	36
	0	25	34	41	46	50	53	56
	0	25	41	55	65	75	80	85
12	0	30	52	76	90	104	116	125
12	0	50	68	82	92	100	107	112
	0	50	68	82	92	100	107	112
	0	61	80	93	100	106	112	116
	0	20	33	42	48	53	56	58
13	0	22	37	49	59	68	76	82
13	0	10	29	42	52	60	65	69
	0	10	29	42	52	60	65	69
	0	16	27	37	44	48	50	56
	0	8	13	17	20	23	25	27
14	0	10	17	23	29	34	38	41
14	0	11	19	26	30	33	35	36
	0	11	19	26	30	33	35	36
	0	10	20	30	38	43	49	52
	0	75	90	100	108	113	115	117
15	0	85	100	111	118	124	129	132
15	0	42	58	71	80	89	95	100
	0	42	58	71	80	89	95	100
	0	28	45	6	78	90	102	113
	0	28	42	51	57	61	64	66
16	0	5	20	29	36	41	45	47
16	0	8	26	37	47	53	58	61
	0	8	26	37	47	53	58	61
	0	22	37	49	59	68	76	82
	0	70	93	104	110	114	117	119
17	0	61	80	93	100	106	112	116
17	0	83	105	114	119	121	126	130
	0	83	105	114	119	121	126	130
	0	75	90	100	102	101	100	97
	0	12	20	26	37	41	44	45
18	0	16	27	37	44	48	50	56
18	0	10	16	21	24	27	29	30
	0	10	16	21	24	27	29	30
	0	11	19	25	29	30	28	21
	0	14	22	3	39	45	51	56
19	0	9	15	22	31	39	45	49
19	0	15	25	35	40	45	50	50
	0	15	25	35	40	45	50	50
	0	35	46	52	55	57	59	60
	0	15	25	40	50	62	73	82
20	0	30	49	63	69	68	62	55
20	0	50	68	82	92	100	107	112
	0	50	68	82	92	100	107	112

083 105 114 116 115 110 105

О к о н ч а н и е т а б л. 6.2.1

№ вар.			Исходные данные
	0	15	26	37	46	53	59	63
21	0	15	24	30	36	40	43	45
21	0	9	30	33	31	39	45	49
	0	9	30	33	31	39	45	49
	0	24	36	42	46	48	49	49
	0	37	64	87	105	120	134	145
22	0	70	93	104	110	114	117	119
22	0	61	80	93	100	106	112	116
	0	61	80	93	100	106	112	116
	0	28	45	65	78	90	102	113
	0	10	20	30	38	43	49	52
23	0	13	25	37	47	55	61	66
23	0	16	27	37	44	48	50	49
	0	16	27	37	44	48	50	49
	0	10	17	23	29	34	38	41
	0	6	13	20	27	33	38	41
24	0	24	36	42	46	48	49	49
24	0	25	41	52	57	59	57	53
	0	25	41	52	57	59	57	53
	0	18	28	37	45	51	56	59
	0	30	49	63	75	84	91	97
25	0	22	37	49	59	68	76	82
25	0	18	26	34	39	42	44	46
	0	18	26	34	39	42	44	46
	0	16	27	37	44	48	50	56
	0	6	13	20	27	35	38	41
26	0	24	36	44	46	47	49	49
26	0	25	41	52	57	58	57	53
	0	25	41	52	57	58	57	53
	0	18	28	37	45	51	56	59
	0	30	49	63	75	84	91	97
27	0	22	37	46	59	68	76	82
27	0	18	26	34	39	42	44	46
	0	18	26	34	39	42	44	46
	0	16	27	37	44	48	50	56
	0	28	42	52	57	61	64	66
28	0	5	20	29	37	41	45	47
28	0	8	26	37	47	53	58	61
	0	8	26	37	47	53	58	61
	0	22	37	49	59	68	76	82

№ вар.		Исходные данные
	0	10	16	21	24	27	29	30
29	0	11	19	26	30	33	35	36
29	0	8	15	23	29	34	38	41
	0	8	15	23	29	34	38	41
	0	14	26	37	46	49	48	44
	0	20	27	27	31	32	32	33
30	0	8	26	37	47	53	58	61
30	0	5	20	29	36	41	45	47
	0	5	20	29	36	41	45	47
	0	20	33	42	48	53	56	58
	0	16	26	39	42	46	50	54
31	0	9	15	23	31	39	45	49
31	0	18	26	34	39	42	44	46
	0	18	26	34	39	42	44	46
	0	15	25	32	38	42	46	48
	0	20	27	28	31	32	32	33
32	0	8	26	37	47	53	58	61
32	0	5	20	29	36	41	45	47
	0	5	20	29	36	41	45	47
	0	20	33	42	48	53	56	58
	0	5	8	10	12	13	14	15
33	0	5	10	14	17	19	21	22
33	0	8	13	18	21	23	25	27
	0	8	13	18	21	23	25	27
	0	6	13	20	27	33	38	41
	0	10	20	34	38	43	49	52
34	0	13	25	37	47	55	61	66
34	0	16	27	37	44	48	50	49
	0	16	27	37	44	48	50	49
	0	10	17	23	29	34	38	41
	0	10	16	21	23	27	29	30
35	0	11	19	26	30	35	35	36
35	0	8	15	23	29	36	38	41
	0	8	15	23	29	36	38	41
	0	14	26	37	46	49	48	44

7. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ И ЗАПАСАМИ

7.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно ме% няются от месяца к месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять одной пар% тией заказы нескольких месяцев, а затем хранить изделия, пока они не потребуются, чем выполнять заказ в тот именно месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Необходимо составить план производства на указанные n месяцев с учетом затрат на производство и хранение изде% лий. Обозначим:

xj	— число изделий, производимых в j%й месяц;
yj	— величина запаса к началу j%го месяца (это число не со%
	держит изделий, произведенных в j%м месяце);
dj	— число изделий, которые должны быть отгружены в j%й
	месяц;
fj (xj ,yj+1)	— затраты на хранение и производство изделий в j%м месяце.

Будем считать, что величины запасов к началу первого месяца y1 и к концу последнего yn+1 заданы.

Задача состоит в том, чтобы найти план производства

x1
x	,	(7.1.1)
x = 2	,	(7.1.1)


xn

компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса

xj + yj	−dj = yj+1,	j =1, 2,…,n	(7.1.2)
и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период
	n
	z = ∑fj (xj ,yj+1) ,		(7.1.3)
	j=1
причем по смыслу задачи
xj 0,	yj 0,	j =1, 2,…, n .	(7.1.4)

Прежде чем приступить к решению поставленной задачи, заметим, что для любого месяца j величина yj+1 запаса к концу месяца должна удовле%

творять ограничениям
0 yj+1 dj+1 +dj+2 + +dn ,	(7.1.5)
76

т. е. объем производимой продукции xj на этапе j может быть настолько велик, что запас yj+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапах, но не имеет смысла иметь yj+1 больше суммарного спроса на всех после%

дующих этапах. Кроме того, из соотношений (7.1.2) и (7.1.4) непосредст% венно следует, что переменная xj должна удовлетворять ограничениям

0 xj dj + yj+1 .

(7.1.6)

Следует также заметить, что переменные xj , yj могут принимать толь%

ко целые неотрицательные значения, т. е. мы получили задачу целочис% ленного нелинейного программирования.

Будем решать задачу (7.1.1)—(7.1.6) методом динамического програм% мирования.

Введем параметр состояния и составим функцию состояния.

За параметр состояния ξ примем наличный запас в конце k%го месяца

ξ= yk+1 ,

афункцию состояния Fk (x) определим как минимальные затраты за пер% вые k месяцев при выполнении условия (7.1.5):

		k
Fk (ξ) = x min, x , ..., x		∑fj (xj ,yj+1) ,
1 2	k	j=1

где минимум берется по неотрицательным целым значениям x1, x2,…, xk , удовлетворяющим условиям

	xj + yj −dj = yj+1, j =1, 2,…, k −1,
	xk + yk −dk = ξ.				(7.1.7)
Учитывая, что
k			k−1
min ∑(xj	,yj+1) = min fk (xk ,yk+1) +	min	∑fj	(xj	,yj+1) ,
x1, x2 , ..., xk j=1	xk	x1, x2 , ..., xk−1	j=1

и величина запаса yk к концу (k – 1)%го периода, как видно из уравнения (7.1.7), равна

yk = ξ+dk −xk ,

приходим к рекуррентному соотношению

Fk (ξ) = min {fk (xk ,ξ) +Fk−1(ξ+ dk −xk )} ,

где минимум берется по единственной переменной xk , которая, согласно (7.1.6), может изменяться в пределах

0 xk dk +ξ,

принимая целые значения, причем верхняя граница зависит от значений параметра состояния, изменяющегося в пределах

0	ξ dk+1 +dk+12 + +dn ,	(7.1.8)
а индекс k может принимать значения
	k = 2, 3, 4, …, n.
Если k = 1, то
F1	(ξ = y2) = min f1(x1,ξ) ,
	x1
где
	x1 = ξ+d1 −y1 ,
0 ξ d2 +d3 + +dn ,
т. е. на начальном этапе при фиксированном уровне y1		исходного запаса

каждому значению параметра ξ отвечает только одно значение перемен% ной x1 , что несколько уменьшает объем вычислений.

Применив известную вычислительную процедуру динамического про% граммирования, на последнем шаге (при k = n) находим значение послед% ней компоненты xn оптимального решения, а остальные компоненты оп% ределяем как

			n	(dj −x*j )
xk	= xk	yn+1 + ∑		(dj −x*j )
			j=k+1

, k =1, 2,…, n −1.

Рассмотрим более подробно функции затрат fj (xj ,yj+1) и рекуррентные соотношения. Пусть

ϕj (xj ) = ax2j +bxj +c ,

ϕj (xj ) — затраты на производство (закупку) xj единиц продукции на

этапе j;
hj	— затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа j

в этап j + 1.

Тогда затраты на производство и хранение на этапе j равны

f (x

j+1

) = ϕ

) +h

j+1

= ax2

+bx

+c +h

j+1

j j

Выведенные ранее рекуррентные соотношения динамического про% граммирования для решения задачи управления производством и запа% сами в нашем случае принимают вид

F (ξ = y		) = min	{	ax2	+bx + c +h y		+ F	(y ) ,	(7.1.9)
k	k+1	xk	{	k	k	k k+1	k−1	k }
		xk

где

k = 2, 3, 4, …, n,

0 yk+1	dk+1 +dk+2 + +dn ,
0	xk	dk + yk+1 ,	(7.1.10)
yk = yk+1 +dk −xk .
Если же k = 1, то
F1 (ξ = y2 )= min{ax12 +bx1 +h1y2},			(7.1.11)
	x1
0 y2	d2 +d3 + +dn ,		(7.1.12)
0	x1	d1 + y2	(7.1.13)

x1 + y1 −d1 = y2

Остается заметить, что полезно обозначить выражение в фигурных скобках в (7.1.9) через

Ω	(x ,y	) = ax2	+bx +c +h y		+F	(y )
k	k k+1	k	k	k k+1	k−1	k

и записать рекуррентное соотношение (7.1.9) в виде
Fk	(ξ = yk+1) = min Ωk (xk ,yk+1),	(7.1.14)
	xk

где минимум берется по целочисленной переменной xk , удовлетворяю% щей условию (7.1.10).

ПРИМЕР 7.1.1. Рассмотрим трехэтапную систему управления запасами с дискретной продукцией и динамическим детерминированным спросом.

Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d1 =3 единицы, на второй — d2 =2 , на третий — d3 =4 еди% ницы. К началу первого этапа на складе имеется только 2 единицы про% дукции, т. е. начальный уровень запаса равен y1 =2. Затраты на хранение единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответст% венно h1 =1, h2 =3, h3 =2 . Затраты на производство xj единиц продукции на j%м этапе определяются функцией

ϕj (xj ) = x2j +5xj +2, j =1, 2, 3 ,

т. е. a = 1, b = 5, c = 2. Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими.

Исходные данные задачи можно кратко записать следующим образом:

d1	d2	d3	a	b	c	h1	h2	h3	y1
1	2	4	1	5	3	1	3	2	2

Решение. Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последо% вательно вычисляем F1(ξ = y2), F2 (ξ = y3 ), F3 (ξ = y4 ) и соответственно нахо% дим x1 (ξ = y2 ) , x2 (ξ = y3 ), x3 (ξ = y2 ) .

Положим k = 1. Согласно (7.1.11) имеем

F1(ξ = y2) = min{x12 +5x1 +2 + y2}.
	x1
Учтем, что согласно (7.1.12)	параметр состояния ξ = y2 может прини%
мать целые значения на отрезке		d2 +d3,
0	y2
0	y2	2 + 4,

т. е.

y2 =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

При этом, вообще говоря, каждому значению параметра состояния долж% на отвечать определенная область изменения переменной x1 , характери% зуемая условием (7.1.13)

0 x	3 + y .
1	2

Однако на первом этапе объем производства x1 не может быть меньше единицы, так как спрос d1 =3 , а исходный запас y1 =2. Более того, из ба% лансового уравнения

x1 + y1 −d1 = y2

непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния ξ = y2 соотношением

x1 = y2 +d1 −y1 = y2 +3 −2 = y2 +1.

(7.1.15)

Вэтом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса

кначалу первого этапа, то каждому значению y2 отвечает единственное

значение x1 , и потому

F1(ξ = y2) = Ω1(x1,y2).

Придавая y2 различные целые значения от 0 до 6 и учитывая (7.1.15), находим:

y =0,	x =0	+1 =1,	Ω (1, 0) =12	+5 1+2 +1 0 =8,
2	1		1
y =1,	x =1	+1 =2,	Ω (2,1) =22	+5 2 +2 +1 1 =17
2	1		1

и т.д. Значения функции состояния F1(ξ) представлены в табл. 7.1.1.

Т а б л и ц а 7.1.1

ξ = y2		0	1	2	3	4	5	6
F1(ξ = y2 )		8	17	28	41	56	73	92
x	(ξ = y )	1	2	3	4	5	6	7
1	2

Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию F2(ξ = y3 ) с помощью соотношения (7.1.14):

F (ξ = y ) = min Ω			(x ,y ) = min				{	ax2	+bx +c +h y + F (y ) =
2	3	2		2	3	x2	{	2		2		2 3 1 2	}
		x2		{		x2							(7.1.16)
		= min			x2	+5x +	2 +3y + F (y ) .						(7.1.16)
		= min			x2	+5x +	2 +3y + F (y ) .
		x2			2	2			3	1	2	}
		x2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2016756.74 Кб114Ответы.doc
#
05.02.2016179.96 Кб61пособие для заочников.pdf
#
30.03.20166.51 Mб31пояснительная.docx
#
05.02.20162.33 Mб301Правоведение.doc
#
24.11.2019129.02 Кб48правовые и этические нормы в PR.doc
#
05.02.20161.6 Mб163Практикум по ИО.pdf
#
23.11.201977.82 Кб40ПРАКТИКУМ ПО ЛИНГВОДИДАКТИКЕ.doc
#
12.11.2019269.91 Кб17Практическая ЭА.rtf
#
05.02.201660.79 Кб48приказ МВД № 140.docx
#
05.02.201641.83 Кб665проф этика.docx
#
24.11.2019337.92 Кб33Психологические аспекты рекламных технологий.doc