Практикум по ИО

84

Т а б л и ц а 7.1.3

Т а б л и ц а 7.1.4

Т а б л и ц а 7.1.5

Самопроверка результатов

Т а б л и ц а 7.2.1

86

8. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ

8.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Широкое распространение в задачах управления получили модели в виде графов благодаря дополнительным возможностям, которые появля% ются при геометрическом подходе к описанию и трактовке процессов управления. Среди графовых моделей особую роль играют потоковые мо% дели, часто называемые транспортными сетями только из%за того, что первоначально они возникли при решении транспортной задачи. К транс% портным сетям сводятся многие практические задачи управления, на% пример, задача об оптимальном назначении, о складе, о поставщике, о спросе и предложении, о кратчайшем пути, об оптимальном использова% нии дорог, об оптимальном по стоимости (или по времени) сетевом графи% ке инвестиционного проекта и другие.

Графом называется пара объектов, состоящая из м н о ж е с т в а т о % ч е к и м н о ж е с т в а о т р е з к о в, соединяющих некоторые из этих точек (может быть, все). Упомянутые точки называются вершинами гра5 фа. Если отрезки, соединяющие вершины графа, имеют направления, то граф называется ориентированным, а сами отрезки — дугами. Если же отрезки не имеют направления, то граф называется неориентирован5 ным, и в этом случае говорят, что вершины графа соединены ребрами. Смешанным называется граф, в котором содержатся как ориентирован% ные, так и неориентированные отрезки. Ориентированный граф часто на% зывают сетью.

Обозначим вершины графа X1, X2,…, Xn , а дугу, соединяющую верши% ну Xi c Xj в направлении от Xi к Xj — uij . Граф Γ , образованный мно% жеством вершин X и множеством дуг U , обозначают Γ(X, U) .

Например, план города можно рассматривать как смешанный граф, в ко% тором дуги и ребра представляют улицы, а вершины — перекрестки, при этом улица с односторонним движением изображается дугой, а с двусто% ронним — отрезком без ориентации.

Две дуги графа (два ребра) называются смежными, если они различны и имеют общую вершину. Две вершины графа называются смежными, если существует дуга (ребро), соединяющая их.

Говорят, что дуга исходит из вершины Xi , если Xi является ее нача% лом. Дуга заходит в вершину Xj , если Xj является ее концом. Такую дугу мы обозначим через uij .

Говорят, что в графе данная дуга инцидентна данной вершине, если эта вершина является началом или концом данной дуги.

Обозначим UX+i множество дуг, исходящих их данной вершины Xi , а

— множество дуг, входящих в Xi . Их объединение есть множество дуг UXi , инцидентных данной вершине.

87

UXi = UX+i UX−i .

Путь в ориентированном графе — это последовательность дуг, в кото% рой конец предыдущей дуги совпадает с началом следующей. Обозначим

μ ={Xi1 , Xi2 ,…, Xik }

путь, последовательность вершин которого Xi1 , Xi2 ,…, Xik .

Путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды, называется элементарным. Путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды, на% зывается простым, в противном случае — составным. Конечный путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной, называется конту5 ром. Контур, образованный одной дугой, называется петлей.

Ориентированный граф называется симметрическим, если любые две смежные вершины его соединены двумя противоположно ориентирован% ными дугами. Ориентированный граф называется антисимметриче5 ским, если каждая пара смежных вершин соединена только в одном на% правлении и петли отсутствуют.

Для неориентированных графов вводятся понятия, аналогичные поня% тиям пути, контура и др. Меняются только названия: вместо дуги говорим ребро, вместо пути — цепь, вместо контура — цикл и т. д.

Неориентированный граф называется связным, если две любые вер% шины его можно соединить цепью. Конечный связный неориентирован% ный граф, не имеющий циклов, называется деревом. Граф, представляю% щий объединение деревьев, называется лесом.

Рассмотрим задачу о максимальном потоке в сети.

Пусть нам дана некоторая совокупность географических пунктов или железнодорожных станций, связанных между собой автомобильными или железными дорогами. При планировании перевозок часто возникает задача об организации максимального потока грузов (т. е. перевозки мак% симального количества грузов в единицу времени) из одного пункта в другой с учетом того обстоятельства, что пропускная способность каждой дороги ограничена. Сформулируем эту задачу математически.

Каждая совокупность пунктов вместе с соединяющими их дорогами схе% матически может быть изображена в виде некоторой сети, в которой линии соответствуют дорогам, а пересечения — отдельным пунктам или станциям. Поэтому рассмотрим ориентированный граф с (n +1) вершиной X0, X1,

X2,…, Xn , где некоторые упорядоченные пары точек Xi , Xj соединены ду% гами uij , причем каждой такой дуге поставлено в соответствие неотрица% тельное число cij = c(uij ) , называемое ее пропускной способностью.

Зафиксируем какие%нибудь две вершины графа, например, X0 и Xn . По пу% тям μ{X0, Xi , Xj ,…, Xk , Xn } составленным из дуг (X0, Xi ), (Xi , Xj ),…, (Xk , Xn ) сети и не образующих контуров, направляется жидкость, газ или транспорт из точки X0 сети в точку Xn . Назовем X0 входом сети, Xn — выходом. Пропуск% ная способность cij дуги (Xi , Xj ) определяет максимальное количество веще%

88

Введем некоторые дополнительные понятия. Разобьем множество всех вершин сети на два непересекающихся подмножества P и Q так, чтобы X0 P, a Xn Q. Сечением (P,Q) сети назовем совокупность всех дуг (Xi , Xj ) , концы которых принадлежат разным подмножествам. Каждому сечению (P,Q) поставим в соответствие число C(P,Q) — пропускную спо5 собность сечения, — равное сумме пропускных способностей всех дуг се% ти, начинающихся в P и кончающихся в Q, т. е.

C(P,Q) = ∑ cij .

Xi P

Xj Q

Любой путь из X0 в Xn обязательно содержит хотя бы одну дугу сече% ния (P,Q) , которая начинается в P и кончается в Q. Но пропускная спо% собность пути не превышает пропускной способности каждой его дуги. Поэтому величина любого потока из X0 в Xn , являющаяся суммарной пропускной способностью всех путей из X0 в Xn , не может превысить пропускной способности любого сечения (P,Q) , т. е. всегда

wC(P,Q) .

Отсюда заключаем, что если удается построить такой поток {zij } , при

котором величина его w окажется равной пропускной способности неко% торого сечения (P ,Q ), т. е. w =C(P ,Q ), то этот поток будет макси%

мальным, а (P ,Q ) — сечением с минимальной пропускной способностью. Введем еще одно понятие. Пусть задан некоторый поток {zij } . Будем го% ворить, что дуга uij с началом в Xi и концом в вершине Xj является на5 сыщенной, если zij = cij , т. е. величина потока по этой дуге равна пропуск%

ной способности дуги. Если же величина потока по дуге меньше пропуск% ной способности дуги zij < cij , то такую дугу называют ненасыщенной.

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА (АЛГОРИТМ ФОРДА —

ФАЛКЕРСОНА).

1.Построить какой%нибудь начальный поток {zij0 } .

2.Проверить, можно ли построить путь из X0 в Xn , состоящий только

из ненасыщенных дуг. Если нет, то построенный ранее поток максимален. Если да, то перейти к п. 3.

3. Выделить какой%нибудь путь, ведущий из X0 в Xn по ненасыщенным

дугам, найти минимальную пропускную способность дуг этого пути θ и увеличить поток через каждую дугу этого пути на θ. Построить новый по% ток. Перейти к п. 2.

Алгоритм может остановиться в том случае, если не удается построить путь из X0 в Xn по ненасыщенным дугам. В противном случае алгоритм мо% жет быть продолжен. При этом на каждом шаге образуется по крайней мере одна новая насыщенная дуга. Так как число дуг в сети конечно, то п. 3 может

90