Практикум по ИО

Чтобы свести эту задачу к задаче линейного программирования, пред%

Будем решать эту задачу симплексным методом, введя предварительно дополнительные переменные s1 и s2, чтобы преобразовать неравенства в равенства:

Для учета условий e1(1)+ e1(1)− =0, e2(1)+e2(1)− =0 при вычислительной реализации симплексного метода будем следить за тем, чтобы не вводить в базис одно% временно переменные e(1)j+ и e(1)j− (j = 1, 2).

Симплексная таблица представлена в табл. 5.1.2. В результате мы получили оптимальное решение

51

задачи (5.1.22)—(5.1.25).

Теперь легко найти оптимальное решение задачи (5.1.20)—(5.1.21):

Тем самым, мы получили направление очередного шага:

1/2 e(1) = −1/2 .

Найдем границы шага смещения h в направлении e(1), при котором точка

будет оставаться во множестве допустимых решений. Имеем:

h [−4;1] . Выберем h из этого отрезка таким образом, чтобы значение це% левой функции f(x) в точке x(2) было максимальным.

Для этого найдем точку максимума функции

Φ1(h) = f (x(1) +he(1) ) = −(2 +h/2 −8)2 −(8 −h/2 −8)2 = = −(h/2 −6)2 −h2 /4 = −h2 /2 +6h −36

одной переменной h на отрезке h −[4;1] .

52

Производная Φ1′(h) = −h +6 обращается в нуль в точке h =6 , положи% тельна при h <6 и отрицательна при h >6 , поэтому точка h =6 является точкой глобального максимума функции Φ1(h) , а максимум функции Φ1(h) на отрезке h [−4;1] достигается в точке h(1) =1.

Таким образом, если выбрать шаг смещения h(1) =1 в направлении

1/2 e(1) = −1/2

наискорейшего роста целевой функции f (x), то при движении от точки

к точке

целевая функция возрастет наибольшим образом, а точка x(2) останется во множестве допустимых решений.

Итак, получили очередное приближение

Точка x(2) является граничной точкой множества допустимых реше% ний; оба ограничения (5.1.10) выполняются в этой точке как равенства, а оба ограничения (5.1.11) — как строгие неравенства:

>15/2 0.

Поэтому если двигаться в направлении

наискорейшего возрастания целевой функции, то новое приближение мо% жет выйти за границы области допустимых решений, т. е. направление

53

не является возможным в точке

Составим задачу линейного программирования для определения воз% можного направления e(2) :

z =11e1(2)+ −11e1(2)− +e2(2)+ −e2(2)− →max,

Оптимальное решение этой задачи равно

e1(2)+ =1/4, e1(2)− =0, e2(2)+ =0, e2(2)− =3/4

(симплексная таблица представлена в табл. 5.1.3), откуда находим на% правление очередного шага

(2) 1/4

e = −3/4 .

Найдем границы шага смещения h в направлении e(2), при котором точка

будет оставаться во множестве допустимых решений. Имеем:

Этой системе неравенств удовлетворяют все h [0; 5] . Выберем h из это% го отрезка таким образом, чтобы значение целевой функции (5.1.2) в точке x(3) = x(2) +he(2) было максимальным.

Для этого найдем точку максимума функции

Φ2 (h) = f (x(2) +he(2) )= −(5/2 +h/4 −8)2 −(15/2 −3h/4 −8)2 = = −(h/4 −11/2)2 −(3h/4 +1/2)2

одной переменной h на отрезке h −[0; 5].

54

Производная Φ′2(h) =(8 −5h)/4 обращается в нуль в точке h =8/5 , по% ложительна при h <8/5 и отрицательна при h >8/5 , поэтому точка h =8/5 является точкой глобального максимума функции Φ2(h) и точкой локального максимума этой функции на отрезке h [0;5] .

Получаем очередное приближение:

Итерационный процесс метода возможных направлений иллюстриру% ется рис. 5.1.1.

Заметим, что x(3) — это точное решение задачи (5.1.9)—( 5.1.11); оно бы% ло получено в примере 5.1.1.

Опишем теперь метод условного градиента. Пусть x(k) — очередное при% ближение к оптимальному решению задачи выпуклого программирования (5.1.1)—(5.1.2) — такая точка x(k) множества допустимых решений, что

grad f (x(k) ) ≠ θ.

Тогда в окрестности точки x(k) целевая функция f(x) может быть представлена в виде

f(x) = f (x(k) )+(grad f (x(k) ), x −x(k) )+o(x −x(k) ).

Будем максимизировать на допустимом множестве линейную функцию

55

Рис. 5.1.1. Итерационный процесс метода возможных направлений

Пусть x(k) — решение вспомогательной задачи максимизации функции (5.1.22) при ограничениях (5.1.2).

Следующее приближение x(k+1) к оптимальному решению исходной за% дачи (5.1.1)— (5.1.2) построим по формуле

где h(k) выбирается из условия наибольшего роста целевой функции f(x) при перемещении из точки x(k) в точку

x(k) +h(k) (x(k) −x(k) ).

Тогда, поскольку множество допустимых решений выпукло, а h(k) [0;1] ,

точка x(k+1) (5.1.23) останется допустимым решением.

Отметим, что вспомогательная задача максимизации функции (3.5.22) при ограничениях (5.1.2) является также задачей выпуклого программи% рования. Процесс ее решение оказывается, однако, достаточно простым в случае, когда ограничения (5.1.2) являются линейными.

56

ПРИМЕР 5.1.3. Требуется найти приближение к оптимальному решению задачи выпуклого программирования (5.1.9)—(5.1.11) из примера 5.1.1, для чего провести три первые итерации метода условного градиента, выбрав в качестве начального приближения вектор

Решение. Как было показано в примере 5.1.1, начальное приближение

является допустимым решением. При этом

Поставим вспомогательную задачу максимизации функции (5.1.22) при ограничениях (5.1.2):

f0 (x) =(grad f (x(0) ), x −x(0) )=14(x1 −1) +0(x2 −8) =14x1 −14 → max ,

Выберем h(0) из условия наибольшего роста целевой функции f(x) при перемещении из точки

57

в точку

Рассмотрим функцию

1+4h 2 2 Φ0 (h) = f 8 −8h = −(1+4h −8) −(8 −8h −8) =

= −16h2 +56h −49 −64h2 = −80h2 +56h −49.

Производная

и построим следующее приближение x(1) к оптимальному решению ис% ходной задачи:

При этом

Поставим вспомогательную задачу максимизации функции (3.5.22) при ограничениях (5.1.2):

Оптимальное решение этой задачи равно

5/2 x(1) = 15/2

(симплексная таблица представлена в табл. 5.1.5).

58

Т а б л и ц а 5.1.5

Выберем h(1) из условия наибольшего роста целевой функции f(x) при перемещении из точки

12/5 x(1) = 26/5

в точку

Рассмотрим функцию

обращается в нуль в точке h =70/53 , положительна при h <70/53 и от%

При этом

59

Поставим вспомогательную задачу максимизации функции (3.5.22) при ограничениях (5.1.2):

f2(x) =(grad f (x(2) ), x −x(2) )=11(x1 −5/2) + x2 −15/2 →max ,

Оптимальное решение этой задачи равно

5 x(1) = 0

(симплексная таблица представлена в табл. 5.1.6).

Выберем h(2) из условия наибольшего роста целевой функции f(x) при перемещении из точки

5/2 x(2) = 15/2

в точку

Производная

60