Практикум по ИО

Говорят, что экономика находится на стационарной траектории, ес% ли относительные показатели не меняются во времени. Поскольку xt, it, и ct являются функциями от kt, то для того, чтобы экономика находилась на стационарной траектории, необходимо и достаточно постоянства во вре% мени фондовооруженности kt, т. е.

Исследуем, что произойдет, если экономика отклонится от стационар% ной траектории. Изобразим на рис. 18.1.1 графики функций λkt и ρAktα [здесь α (0,1) ].

λkt , ρAktα

λk = A(k )α

ρAktα

λkt

kt

Рис. 18.1.1. Исследование устойчивости стационарных траекторий экономики в модели Солоу

172

и поставим задачу определения такой нормы накопления ρ, чтобы

c (ρ) →max

или, расписывая c (ρ) подробно,

α

(1−ρ)A ρA 1−α →max .

λ

Как известно, в точке максимума первая производная должна быть равна нулю (или не существовать), а вторая производная должна быть отрицательной. Имеем:

d2c (ρ)/dρ2 >0 , т. е. точка ρ =0 является точкой м и н и м у м а удельного

потребления на стационарной траектории, а в точке ρ = α вторая произ% водная d2c (ρ)/dρ2 <0 , т. е. точка ρ = α является точкой м а к с м у м а удельного потребления.

Этот результат, полученный в 1966 г. Э. Фелпсом, носит название золо, того правила накопления: для того, чтобы удельное потребление на ста% ционарной траектории сбалансированного экономического роста было максимальным, норма накопления ρ должна быть равна эластичности выпуска по фондам α.

ПРИМЕР 18.1.1. Даны значения параметров A = 103 и α =0,5 производст% венной функции Кобба — Дугласа. В модели Солоу с этой производствен% ной функцией требуется рассчитать значения фондовооруженности, производительности труда и удельного потребления на стационарной траектории сбалансированного устойчивого экономического роста, на ко% торой норма накопления равна ρ =0,2 , коэффициент выбытия основных производственных фондов за год составляет μ =0,2, а годовой темп при% роста численности занятых равен ν =0,05 . Сравнить полученное значение удельного потребления с оптимальным.

Решение. На стационарной траектории, соответствующей норме накоп% ления ρ =0,2 , фондовооруженность

174

19. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ

19.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Рассмотрим ситуацию, когда в некоторый момент времени t инвестор может часть своих средств оставить на банковском счете, а другую часть потратить на приобретение ценных бумаг. Портфелем финансовых ин5 струментов на (B, S)%рынке назовем вектор

где x0 R — доля капитала инвестора, вложенная в безрисковый актив (банковский счет или облигацию), xk R — доля капитала инвестора, вложенная в акцию с номером k (k = 1, 2, … , n), при этом, очевидно,

n

x0 + ∑xk =1.

k=1

Числа xk могут быть как положительными, так и отрицательными, в последнем случае инвестор берет средства в долг с банковского счета ли% бо совершает короткую продажу акций (конечно, эти числа могут быть и нулевыми).

Э ф ф е к т и в н о с т ь портфеля финансовых инструментов π вычис% ляется, очевидно, как

n

Eπ = x0i + ∑xkEk ,

k=1

где i — эффективность банковского счета (процентная ставка), Ek — эф% фективность k%й акции (ее доходность).

Ожидаемой эффективностью портфеля финансовых инструментов называется математическое ожидание его эффективности, а риском портфеля — среднее квадратичное отклонение его эффективности.

Возникает з а д а ч а о п т и м и з а ц и и п о р т ф е л я с целью полу% чения максимальной эффективности при минимальном риске. К сожале% нию, одновременно этого достичь невозможно, поэтому инвестор, оптими% зирующий свой портфель, должен выбрать один из критериев:

MEπ при заданном уровне риска портфеля.

177

В общем случае математическая формулировка задачи м и н и м и з а % ц и и р и с к а портфеля ценных бумаг при заданной допустимой ожидае% мой эффективности rπ выглядит так:

n

x0 + ∑xk =1,

k=1

xk R (k =0,1, 2,…, n).

Воспользовавшись тем, что квадратный корень — возрастающая функция, и применив свойства математического ожидания и дисперсии, эту модель можно переписать в виде

ПРИМЕР 3.14.1. Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%%ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i = 10% годовых, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соот% ветственно r1 = 16% и r2 = 23%, риски σ1 = 5%, σ2 = 14%, а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен ρ12 = 0,36.

Решение. Введем данные в рабочий лист Microsoft Excel, как показано на рис. 19.1.1, а. Пусть ячейки B9 и B10 соответствуют долям рисковых вло% жений x1 и x2, в ячейку B8, соответствующую доле безрисковых вложений x0, введем формулу, соответствующую разности всех вложений (едини% цы) и вложений в акции x1 и x2, в ячейку B12 введем формулу для ожи% даемой эффективности портфеля MEπ, а в ячейку B13 введем формулу для дисперсии эффективности портфеля DEπ; учтем здесь, что σ12 = ρ12σ1σ2 (эти формулы приводятся справа от соответствующих ячеек).

Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Сервис | Поиск решения…», и в появившемся окне (рис. 19.1.1, б) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14 (в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $B$10:$B$11 (в которых находятся доли риско% вых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограниче% ние $B$13 = $B$7.

178