Практикум по ИО

обращается в нуль в точке h =4/25 , положительна при h <4/25 и отрица% тельна при h >4/25 , поэтому точка h(2) =4/25 является точкой глобаль% ного максимума функции Φ2(h) .

Величина шага смещения

h(2) = min{1; h(2)}= min{1; 4/25}=4/25

и построим следующее приближение к оптимальному решению исходной задачи:

Перейдем к рассмотрению метода штрафных функций, идея которого состоит в переходе от задачи условной максимизации функции (5.1.1) при ограничениях (5.1.2) к последовательности задач безусловной максимиза% ции

где функции ϕk (x) с ростом k все в большей степени учитывают ограниче% ния (5.1.2). Для этого функции ϕk (x) подбираются так, чтобы fk (x) при больших k мало отличались от f(x) при x, удовлетворяющих ограничениям (5.1.2), и быстро убывали при удалении x от множества допустимых реше% ний. Более строго, последовательность функций {ϕk (x)}k∞=1 называется по5 следовательностью штрафных функций для задачи (5.1.1)—( 5.1.2), если

Такую последовательность штрафных функций можно определить, например, так:

При этом последовательность решений задач безусловной максимиза% ции (5.1.24) сходится (при определенных условиях) к решению исходной задачи (5.1.1)— (5.1.2), поэтому в качестве приближенного решения зада% чи (5.1.1)— (5.1.2) полагают очередное решение задачи (5.1.24) при доста% точно большом k: x ≈ x(k) .

61

Если целевая функция задачи выпуклого программирования является квадратичной, а ограничения — линейными, то решение вспомогательной задачи можно найти точно, после чего для определения оптимального решения исходной задачи перейти к пределу при k →∞.

ПРИМЕР 3.5.4. Требуется найти оптимальное решение задачи выпуклого программирования (5.1.9)—(5.1.11) из примера 5.1.1 с помощью метода штрафных функций.

Решение. Предположим, что в точке x(k) максимума вспомогательной функции

fk (x) = f(x) +ϕk (x)

все ограничения исходной задачи (5.1.10)—(5.1.11), которые мы предста% вим в форме

нарушаются, т. е.

3x1(k) + x2(k) >15, x1(k) + x2(k) >10, −x1(k) >0,

−x2(k) >0.

Тогда

ϕk (x) = −k ((3x1 + x2 −15)2 +(x1 + x2 −10)2 +(−x1 −0)2 +(−x2 −0)2 )=

= −k ((3x1 + x2 −15)2 +(x1 + x2 −10)2 +(x1 )2 +(x2 )2 ),

fk (x) = −(x1 −8)2 −(x2 −8)2 −k ((3x1 + x2 −15)2 +(x1 + x2 −10)2 +(x1 )2 +(x2 )2 ),

∂fk = −2(x1 −8)−6k (3x1 + x2 −15)−2k (x1 + x2 −10)−2kx1 = ∂x1

= −(22k +2)x1 −8kx2 +110k +16,

∂fk = −2(x2 −8)−2k (3x1 + x2 −15)−2k (x1 + x2 −10)−2kx2 = ∂x1

=−8kx1 −(6k +2)x2 +50k +16.

Вточке максимума функции fk (x) частные производные по x1 и x2

должны быть равны нулю, откуда

62

или

+4kx2 =55k +8,

+ + = +

4kx1 (3k 1)x2 25k 8.(11k +1)x1

Выразим из первого уравнения

x2 = 55k +8 −(11k +1)x1 4k

и подставим во второе уравнение:

Поскольку при любом k x1(k) >0, x2(k) >0 , наше предположение о том, что все ограничения исходной задачи нарушаются, неверно.

Выдвинем другую гипотезу. Предположим, что в точке максимума функции fk (x) выполняются третье и четвертое ограничения исходной за% дачи (5.1.10)—(5.1.11), а первое и второе ограничения не выполняются, т. е.

Тогда

ϕk (x) = −k(3x1 + x2 −15)2 −k(x1 + x2 −10)2 ,

fk (x) = −(x1 −8)2 −(x2 −8)2 −k(3x1 + x2 −15)2 −k(x1 + x2 −10)2 ,

∂fk = −2(x1 −8)−6k (3x1 + x2 −15)−2k (x1 + x2 −10)= −(20k +2)x1 −8kx2 +110k +16,

∂x1

∂fk = −2(x2 −8)−2k (3x1 + x2 −15)−2k (x1 + x2 −10)= −8kx1 −(4k +2)x2 +50k +16.

∂x1

В точке максимума функции fk (x) частные производные по x1 и x2

должны быть равны нулю, откуда

63

Выразим из первого уравнения

x2 = 55k +8 −(10k +1)x1 4k

и подставим во второе уравнение:

4kx1 +(2k +1) 55k +8 −(10k +1)x1 =25k +8 . 4k

Отсюда

При этом

второе ограничение исходной задачи нарушаются, неверно.

Рассмотрим третью гипотезу относительно местоположения точки мак% симума. Предположим, что в точке максимума функции fk (x) выполняют% ся все ограничения исходной задачи (5.1.10)—(5.1.11), кроме первого, т. е.

Тогда

64

В точке максимума функции fk (x) частные производные по x1 и x2

должны быть равны нулю, откуда

или

Выразим из первого уравнения

x2 = 45k +8 −(9k +1)x1 3k

и подставим во второе уравнение:

3kx1 +(k +1) 45k +8 −(9k +1)x1 =15k +8 . 3k

Отсюда

При этом

оказалось верным, и это означает, что точка безусловного максимума функции fk (x) равна

Поэтому оптимальное решение исходной задачи определим как

65

ПРИМЕР 5.1.5. Требуется найти приближение к оптимальному решению задачи выпуклого программирования (5.1.9)—(5.1.11) из примера 5.1.1 с помощью надстройки «Поиск решения» пакета Microsoft Excel.

Решение. Введем в рабочий лист Microsoft Excel формулы, как показано на рис. 5.1.2. Ячейки B1 и B2 отведем под координаты вектора оптимально% го решения задачи. Запустим надстройку «Поиск решения».

Рис. 5.1.2. Исходные данные для решения задачи выпуклого программирования

спомощью надстройки «Поиск решения»

Впоявившемся окне ввода данных (рис. 5.1.3, а) укажем ячейку, в кото% рую введена максимизируемая целевая функция, и ограничения (без учета ограничений неотрицательности, которые введем в окне ввода па% раметров надстройки «Поиск решения» — см. рис. 5.1.3, б).

Результаты работы надстройки «Поиск решения» представлены на рис. 5.1.4. Предлагаем студенту самостоятельно их интерпретировать.

5.2. З а д а н и е п р а к т и к у м а

варианта.

Вначале нужно проверить выполнение условия регулярности, и если оно выполняется, составить функцию Лагранжа, записать условия Ку% на — Таккера в дифференциальной форме и найти оптимальное решение задачи как точку, удовлетворяющую условиям Куна — Таккера.

Затем нужно найти приближение к оптимальному решению задачи, для чего провести три первые итерации метода возможных направлений, а за% тем три первые итерации метода условного градиента, выбрав (для обоих методов) в качестве начального приближения вектор

1

x(0) = .

1

Потом нужно найти оптимальное решение рассматриваемой задачи с помощью метода штрафных функций.

После этого необходимо с помощью надстройки «Поиск решения» паке% та Microsoft Excel проверить правильность решения задачи.

66

Принцип, положенный в основу построения такого решения (искать всегда оптимальное продолжение процесса относительно того состояния, которое достигнуто в данный момент), принято называть принципом оп5 тимальности.

Состояние системы на каждом шаге характеризуется некоторой пере% менной величиной, которая называется параметром состояния. Наи% лучший эффект на данном этапе вместе с уже рассмотренными шагами характеризуется функцией состояния. Решение конкретной задачи ме% тодом динамического программирования сводится к выбору параметра состояния (что требует определенного навыка), составлению функции со% стояния и рекуррентных соотношений, связывающих функции состояния для двух соседних последовательных этапов, и их применению для выбо% ра оптимального управления.

Знакомство с методом динамического программирования проще всего начать с рассмотрения нелинейной задачи распределения ресурсов меж% ду предприятиями одного производственного объединения или отрасли. Для определенности можно считать, что речь идет о распределении капи% тальных вложений.

Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или ре% конструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через fj (ξ) прирост мощности или прибыли на j%м предприятии,

если оно получит ξ рублей капитальных вложений. В динамической задаче распределения инвестиций требуется найти такое распределение

xn

инвестиций между предприятиями, которое максимизирует суммар5 ный прирост мощности или прибыли

z = f1(x1) + f2 (x2) + + fn (xn )

при ограничении по общей сумме инвестиций x1 + x2 + + xn =b .

Будем считать, что все переменные xj принимают только целые неот% рицательные значения

xj =0 или 1 или 2 или 3 и т. д.

Функции fj (xj ) мы считаем заданными, заметив, что их определение —

довольно трудоемкая экономическая задача.

Воспользуемся для решения этой задачи методом динамического про% граммирования.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За пара% метр состояния ξ примем денежную сумму, выделяемую нескольким

70