Практикум по ИО

X5

е)

101

8.2.З а д а н и я п р а к т и к у м а

1.ЗАДАЧА О МАКСИМАЛЬНОМ ПОТОКЕ В СЕТИ. Требуется определить макси%

мальный поток в сети, приведенной на рис. 8.2.1, из вершины Xi в вершину Xj, где числа на дугах, снабженные стрелками, означают пропускные спо% собности этих дуг в указанных направлениях. Номера вершин i и j для каждого варианта приведены в табл. 8.2.1.

2.ЗАДАЧА О КРАТЧАЙШЕМ ПУТИ. Требуется определить кратчайший путь из

вершины Xi в вершину Xj в графе, приведенном на рис. 8.2.2, где числа на дугах означают длины этих дуг. Номера вершин i и j для каждого варианта приведены в табл. 8.2.1.

3.ЗАДАЧА О КРИТИЧЕСКОМ ПУТИ. Требуется определить критический путь

из вершины Xi в вершину Xj в сетевом графике, приведенном на рис. 8.2.3, где числа на дугах равны продолжительностям соответствующих этим ду% гам работ инвестиционного проекта. Номера вершин i и j для каждого ва% рианта приведены в табл. 8.2.1.

X5

33

102

X5

3

Рис. 8.2.2. Сетевой график для определения критического пути

103

9. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО

9.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Обозначим буквой E некоторую обобщенную характеристику произ% вольной инвестиционной операции, которую назовем эффективностью операции (в качестве E можно взять доход, доходность в процентах от вложенной суммы, доходность в процентах годовых, внутреннюю норму доходности и т. п.). Часто невозможно заранее точно предсказать эффек% тивность той или иной операции, и такие операции рассматривают как с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы. При этом в качестве ожидаемой эффек5 тивности такой инвестиционной операции используют м а т е м а т и % ч е с к о е о ж и д а н и е ME случайной величины E.

Под риском инвестиционных операций мы понимаем отклонение ре% альных значений эффективности инвестиционной операции от прогнози% руемой эффективности (как в меньшую сторону, так и в бόльшую).

Если E — случайная эффективность инвестиционной операции, и в ка% честве ожидаемой эффективности операции мы выбрали математическое ожидание ME случайной величины E, то в качестве измерителя риска

Знание только математических ожиданий и средних квадратичных от% клонений случайных величин довольно%таки важно при анализе группы случайных величин, оно помогает выбрать из множества случайных ве% личин оптимальные по Парето, отбросив заведомо «плохие».

Пусть на финансовом рынке существует возможность осуществить не% сколько инвестиционных операций, ожидаемые эффективности и риски которых известны и равны соответственно ME1, ME2, … , MEn и σ1, σ2, … , σn. Говорят, что i%я операция доминирует j%ю, если

Операция называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали.

ПРИМЕР 9.1.1. Инвестор рассматривает четыре инвестиционные опера% ции со случайными эффективностями, описываемыми случайными вели% чинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения

104

Рассмотренный подход может быть применен и при анализе других задач многокритериальной оптимизации.

В произвольной задаче выбора операции по нескольким критериям операция i доминирует операцию j, если операция i по каждому из кри% териев н е х у ж е операции j и хотя бы по одному из критериев — с т р о г о л у ч ш е.

Операция i называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали.

Например, в ситуации с частичной неопределенностью можно рассмотреть в качестве критериев ожидаемый доход MQ (операция i не хуже операции j по этому критерию, если MQi MQj, и лучше операции j по этому критерию, если MQi > MQj) и ожидаемые сожаления MR (операция i не хуже операции j по этому критерию, если MRi MRj, и лучше операции j по этому критерию, если MRi < MRj).

9.2. З а д а н и е п р а к т и к у м а

Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случай% ными эффективностями, описываемыми случайными величинами En, En + 1, E n + 2 и E n + 3 (где n —номер варианта) с рядами распределения, приведен% ными в табл. 9.2.1. Требуется определить, какие из этих операций опти% мальны по Парето.

10. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

10.1. К р а т к и е т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я и у к а з а н и я к в ы п о л н е н и ю з а д а н и й

Задачи многокритериальной, или векторной, оптимизации возника% ют в тех случаях, когда имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием (например, стоимость, надежность и т. п.). Требуется найти точку области допустимых решений, которая миними% зирует или максимизирует все эти критерии. Обозначим i%й частный критерий через zi (x), а область допустимых решений через Q. Учтем, что изменением знака функции всегда можно свести задачу минимизации к задаче максимизации, и наоборот, мы можем сформулировать кратко за% дачу векторной оптимизации следующим образом:

В идеальном случае в задаче (10.1.1)—(10.1.2) можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных ре% шений всех однокритериальных задач. Но указанное пересечение обычно оказывается пустым множеством, и потому приходится рассматривать пе5 реговорное множество — множество допустимых решений [т. е. удовле% творяющих требованию (10.1.2)], оптимальных по Парето.

Метод последовательных уступок решения многокритериальных за% дач применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядо% чены в порядке убывающей важности. Предположим, что все критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Находим максимальное значение z1* , первого по важности критерия в об% ласти допустимых решений, решив задачу

z1(x) →max, x Q.

Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точ% ности, величина допустимого отклонения δ1 >0 (экономически оправданной уступки) критерия z1 и отыскивается максимальное значение второго крите% рия z2 при условии, что значение первого должно отклоняться от максималь% ного не более чем на величину допустимой уступки, т. е. решается задача

z2(x) →max,

x Q.

108