Физика / 6.______________
.pdf
В.М.Клименко. Електростатика 132
ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Глава І. Електростатика
Нижче в тексті прийняті такі позначення:
символом ∆ позначаються малі скінченні прирости скалярних та векторних величин;
символом d позначаються нескінченно малі прирости фізичних величин, які є функціями стану тіла або системи тіл. Такі величини в математиці називають диференціалами, і надалі будемо вважати, що
нескінченно малі прирости d є границею скінчених приростів ∆ при прямуванні їхнього аргументу або самого ∆ до 0;
символом δ позначаються нескінченно малі (їх називають ще елементарними) прирости фізичних величин, які не є функціями стану тіла або системи тіл, наприклад, δА елементарна робота, δQ елементарна теплота та інші фізичніr величини;
символом dS позначається вектор елементарної поверхніr , що має напрям нормалі nr до неї, а його величина дорівнює dS, тобто dS = nrdS.
Нескінченно мала d (або δ) завжди менша будь-якої наперед заданої скінченої малої величини ∆.
§ 1. Заряд
Заряд q фізична величина, яка характеризує властивість тіла чи частинки вступати в особливий вид взаємодії з іншими зарядженими тілами. Така взаємодія дістала назву електромагнітної. Зарядовий стан тіла чи частинки буває двох видів: "+" і "-". Величину заряду позначають літерою q чи Q. Одиницею вимірювання заряду є [q] = Кл (кулон). Заряд тіла є дискретною величиною, пропорційною величині елементарного заряду
e =1.6 10−19 Кл. Носіями неподільного елементарного від'ємного заряду є електрони, а елементарного позитивного (додатного) протони. Усі середовища складаються з атомів. Атом складається з електронів та ядра. Ядро атома водню називається протоном. Ядра інших частинок складаються
з нуклонів, якими є протон і нейтральний нейтрон. Якщо тіло має
надлишок електронів над протонами тіло заряджене негативно, а при недостачі тіло заряджене позитивно.
Дослідним шляхом установлено фундаментальний закон збереження заряду: повний заряд замкненої системи зберігається
i=N |
|
Q = ∑ qi = const . |
(1) |
i=1
В.М.Клименко. Електростатика 133
Це означає, що можуть народжуватися та зникати (анігілятувати) попарно частинки, що мають рівні за величиною і різнойменні заряди. Наприклад, при анігіляції γ-кванта можуть народжуватися електрон та його античастинка позитивно заряджений позитрон і навпаки, при анігіляції електрона та позитрона народжується γ-квант. Якщо Q=0, то це означає, що система містить однакову величину як позитивних, так і від'ємних зарядів і вона є електронейтральною.
Найпростіший спосіб перевести тіло, наприклад, ебоніт, в один із зарядових станів є тертя його поверхні шматком шовкової тканини. При цьому ебоніт придбаває електрони шовку і робиться негативно зарядженим. При натиранні поверхні скла хутром, воно забирає електрони і за рахунок переважання протонів скло робиться позитивно зарядженим.
Електрон стабільна елементарна частинка, яка має класичну масу
m |
e |
= 9.1 10−31 |
кг, класичний радіус r ≈10−13 м, заряд q = −e , питомий заряд |
||||||||||
|
|
e |
11 Кл |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
γ = |
|
= 1.76 |
10 |
|
. |
Назва |
|
частинки походить від грецької назви |
|||||
m |
кг |
||||||||||||
бурштину, який в давнину використовували у дослідах по електризації. |
|||||||||||||
|
|
|
Протон стабільна елементарна частинка, яка має додатній заряд |
||||||||||
q=e, класичний радіус r |
≈10−15 |
м, масу m |
p |
=1.67 1027кг, причому |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mp |
|
=1836 . |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
Нейтрон електронейтральна частинка, яка має нескінченний час життя в стабільних ядрах, а поза ядрами (вільний нейтрон) за час ~ 12 хв розпадається на протон та електрон із випромінюванням електронного
антинейтрино ν*e − нейтральної елементарнї частинки без маси спокою.
Пробний заряд. З метою дослідження властивостей поля, в його простір вводиться додатний пробний точковий заряд q0, такої малої величини, що він практично не деформує досліджуване поле. Точковим називається заряд, лінійними розмірами L якого можна знехтувати в порівнянні з відстанню r з якої він досліджується, тобто при r >> L.
§ 2. Закон Кулона
Взаємодія заряджених тіл призводить до тяжіння між різнойменно зарядженими тілами й відштовхуванню між однойменно зарядженими тілами. Закон Кулона установлює силу електростатичної взаємодії між двома точковими
зарядами. У вакуумі ця сила прямо пропорційна величинам зарядів i
В.М.Клименко. Електростатика 134
обернено пропорційна квадрату відстані r між ними. Наприклад, сила з якою
додатній заряд q діє на пробний заряд q0 |
(див. Мал.1) дорівнює |
||||
r |
0 |
r |
|
||
F = k |
|
e . |
(1) |
||
r 2 |
|||||
|
|
|
|||
Вектор сили взаємодії лежить на прямій, що сполучає центри зарядів і тому
її називають ще й центральною. |
Коефіцієнт пропорційності k є розмірним |
||||||||||
|
|
k = |
1 |
|
= 9 109 |
|
Н м |
2 |
. |
(2) |
|
1 |
4πε0 |
|
Кл2 |
|
|||||||
|
|
Φ |
|
|
|
|
|||||
= 8.85 10 |
−12 |
|
|
|
|
|
|||||
Величина ε0 = |
|
м |
називається |
електричною сталою. |
|||||||
4πk |
|
||||||||||
Одиничний вектор e напрямку |
сили F направлений уздовж прямої, яка |
||||||||||
з'єднує заряди в напрямку від додатного q. Якщо заряд q від′ємний то сила F,
щодіє на q0 направлена до q. На графіках сила тяжіння зображується додатною, а відштовхування від′ємною величинами.
Якщо точкові заряди розміщені в середовищі, яке називається діелектриком, то сила взаємодії буде в ε раз менше ніж у вакуумі, тобто
r |
0 |
r |
|
||
F = k |
|
e . |
(3) |
||
εr |
2 |
||||
|
|
|
Це явище виникає тому, що зовнішнім полем у діелектрику створюється внутрішнє поле зв′язаних зарядів молекул, яке має протилежний напрям зовнішному полю. Коефіцієнт ε називається діелектричною проникливістю середовища. Для будь-якої речовини ε ≥1 і сила взаємодії між зарядами у вакуумі при однаковій відстані між ними завжди більша ніж у діелектрику.
Будь-яке заряджене макроскопічне тіло можна розглядати як систему точкових зарядів ∆qi. Електростатична взаємодія між двома зарядженими макроскопічними тілами відбувається із силою, що дорівнює векторній сумі сил, прикладених до всіх точкових зарядів даного тіла ∆qs із боку кожного з точкових зарядів другого тіла ∆qj.
В подальшому будуть вживатися густини рівномірно розподілених зарядів таких видів:
•лінійна густина τ = dqdl , де dq заряд ділянки стержня довжиною dl,
•поверхнева густина σ = dqdS , де dq заряд на поверхні площею dS,
•об'ємна густина ρ = dVdq , де dq заряд малого елемента об'ємом dV.
Приклад 1. Обчислити силу взаємодії протона і електрона у атомі водню, відстань між якими r = 0.529 10−10 м.
В.М.Клименко. Електростатика 135
Дано : r = 0.529 10−10 м, q p = e = 1.6 10−19 Кл, k = 9 109 НКлм2 2 , F-?
Розв'язок.
Протон та електрон мають різнойменні заряди і вони тяжіють один до другого з силою
F = k |
qр e |
= k e2 |
= 9 109 ( |
1,6 10−19 |
)2 |
= 9 10−18 Н. |
|
r2 |
5.29 10−11 |
||||||
|
r2 |
|
|
|
|||
Приклад 2. Знайти |
силу електростатичного |
відштовхування F між |
|||||
ядром атома натрію та протоном, що його бомбардує, вважаючи, що протон підійшов до ядра атома на відстань r=6 10-14 м. Заряд ядра натрію в 11 разів
більше заряду |
протона. |
Впливом |
електронної оболонки |
атома |
||||||||
знехтувати.Дано : r = 6 10−14 м, q=11 e, e = 1.6 10−19 Кл |
, k = 9 109 Н м2 |
, F-? |
||||||||||
|
|
|
|
Розв'язок |
|
|
Кл2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сила обчислюється за законом Кулона |
|
|
|
|
||||||||
|
q e |
|
11 e2 |
|
9 |
|
1,6 10−19 |
|
2 |
|
|
|
F = k |
r2 |
= k |
r2 |
= 9 10 |
|
11 |
( |
|
) |
|
= 0,704 Н. |
|
|
6 10−14 |
|
|
|||||||||
§ 3. Електростатичне поле у вакуумі
r
1.Напруженість поля E . Силові лінії
У просторі навколо зарядженого тіла чи системи тіл створюється силове електричне поле. Воно проявляється в тому, що на внесений у нього пробний заряд qo діє кулонівська сила F. Силова дія поля описується напруженістю
поля |
r |
|
|
|
r |
F |
|
|
|
E = |
|
. |
(1) |
|
q0 |
||||
|
|
|
Вона чисельно дорівнює силі, що діє на одиничний заряд у полі. Наприклад, із цього визначення слідує, що напруженість поля точкового заряду q дорівнює
r |
q |
r |
|
E = k |
|
e , |
(2) |
r 2 |
де одиничний вектор er направлений від додатного заряду в нескінченність або до від'ємного заряду. Одиницею вимірювання напруженості поля є [E] =
В/м (вольт/метр). r Електростатичним полем називається поле, напруженість якого E не
залежить від часу.
В.М.Клименко. Електростатика 136
r |
Однорідне електростатичне поле – полеr, |
напруженість якого |
E = const у будь-якій точці поля, тобто вектори E |
в цих точках рівні за |
|
величиною та паралельні.
Якщо в просторі розміщено N зарядів, то напруженість сумарного поля цих зарядів визначається законом суперпозиції: вона дорівнює векторній сумі напруженостей, що створюються кожним із цих зарядів. Дійсно, результуюча сила поля, що діє на пробний заряд q0, дорівнює
r |
N |
0i , |
|
F0 |
= ∑ F0i er |
(3) |
i=1
а напруженість поля обчислимо за визначенням |
||||||||||
|
r |
|
|
r |
|
q |
|
|
|
|
r |
F |
r |
N |
F |
r |
|
r |
r |
||
E = |
o |
, E = ∑ |
oi |
, Eoi = k |
|
i |
eoi , E |
|||
qo |
qo |
roi2 |
||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|||||
N r |
|
= ∑ Eoi . |
(4) |
I=1
Принцип суперпозиції означає незалежність виникнення та дії
електростатичних полів.
Для графічного зображення електростатичного поля вводиться поняття уявних силових ліній (див. Мал.2а):
вони починаються з додатного заряду і закінчуються на від'ємному заряді
або в нескінченності; |
r |
вектор напруженості поля |
E лежить на дотичній до силової лінії і |
направлений у напрямку силової лінії;
силові лінії не перетинаютьсяr , бо в противному в точці перетину було б дві дотичних і два напрямки E ;
густина силових ліній
В.М.Клименко. Електростатика 137
γ = |
dN |
(5), |
|
dS |
|||
|
|
що пронизують плоску поверхню dS перпендикулярну їм, чисельно дорівнює величині напруженості вектора E = γ;
вільний заряд, внесений у електростатичне поле, буде рухатися вздовж силової лінії.
Силові лінії однорідного поля є прямі, паралельні вектору Е (див.Мал.2б). Силові лінії точкового заряду є радіальні прямі, що виходять із заряду, якщо він додатній і входять у нього, якщо він від'ємний (див.Мал.2с).
Зауваження. Вr електростатичномуr полі на заряджену частинку діє кулонівська сила F = qE , яка спрямляє її рух вздовж силової лінії.
2. Потенціал поля. Робота електростатичного поля. Еквіпотенціальні поверхні
Електростатичне поле і заряд q0 взаємодіють і ця взаємодія характеризується потенціальною енергією W. Відношення
ϕ = |
W |
(6) |
|
q 0 |
|
є енергетичною характеристикою поля і називається потенціалом поля. Потенціал ϕ чисельно дорівнює потенціальній енергії взаємодії поля з одиничним зарядом.
Еквіпотенціальною поверхнею називається поверхня в кожній точці якої потенціал має одну й ту ж величину, тобто ϕ=cost. Еквіпотенціальні поверхні застосовуються для графічного зображення електростатичного поля і разом із силовими лініями вони дають повну картину силових та енергетичних характеристик поля.
3. Диференціальний зв′язок напруженості і потенціалу поля.
r
Циркуляція напруженості поля E
Сила F, що діє на пробний заряд q0 в електричному полі, переміщує |
||
його на dLr. При цьому вона виконує елементарну роботу |
||
|
r r |
r r |
r |
A = FdL = q0EdL = q0EdLcos , |
|
r |
|
|
де α кут між E та dL. Ця робота виконується електричним полем за |
||
рахунок убутку потенціальної енергії dW |
||
і тому можна записати |
A = −dW , |
|
r |
r |
|
|
q0 EdL = −dW , |
|
або
В.М.Клименко. Електростатика 138
r r |
(7) |
dϕ= −EdL . |
Вираз (7) є диференціальним рівнянням, що зв′язує енергетичну та
силову характеристики поля.
Розв′яжемо рівняння (7) відносно напруженості поля Е. Якщо
переміщення пробного заряду здійснюється вздовж осі ОХ на відстань dx, то |
||||||||||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL = dx . і |
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
= Exdx , |
|
|||||||
|
|
EdL |
= Edx = Edx cos |
r r |
||||||||||||||||
де α кут між віссю ОХ та вектором dL. Зважаючи на те, що dϕ = −EdL , |
||||||||||||||||||||
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ex = - |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогічно можна одержати вирази для складових напруженості |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Ey = - |
dϕ |
та Ez = - |
dϕ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|||
і записати вектор Е=(Еx, Еy, Еz) через значення компонент ϕ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
r |
r |
∂ϕ |
|
r |
∂ϕ |
|
r |
∂ϕ |
) |
|
|
|
|
(8) |
|
|||
|
|
E = −(i |
∂x |
+ j |
∂y |
+ k |
∂z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
або, ввівши математичний оператор градієнта |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
r |
∂ |
|
r |
|
∂ |
|
r |
|
∂ |
|
|
|
||
|
|
grad = = i |
|
|
|
+ j |
|
|
+ k |
|
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вираз (8) запишемо у вигляді |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
|||
|
|
E |
= gradϕ абоE |
= ϕ. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Знак мінус означає, що вектор Е направлений у напрямі зменшення потенціалу ϕ.
4. Інтегральний зв'язок напруженості та потенціалу поля. Циркуляція напруженості
Якщо проінтегрувати вираз (7) вздовж якоїсь кривої, по якій може переноситися заряд q0 з точки 1 в точку 2, то одержимо вираз
2 |
|
2 r r |
|
|
− ∫ dϕ = ∫ Edl . |
(10) |
|
||
1 |
1 |
|
|
|
Інтеграл у лівій частині (10) обчислюється елементарно |
||||
2 |
|
12 = ϕ1 − ϕ2 = −∆ϕ. |
|
|
− ∫ dϕ = −ϕ |
|
(11) |
||
|
||||
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
Інтеграл у правій частині (10) чисельно дорівнює роботі по перенесенню одиничного заряду із точки 1 у точку 2 поля і з огляду на (11) ця робота не залежить від шляху, по якому він буде переноситися. Остаточно різницю потенціалів між точками 1 та 2 можна записати у вигляді
В.М.Клименко. Електростатика 139
|
2 |
r r |
|
|
ϕ1 − ϕ2 = ∫ Edl |
|
(12) |
||
|
1 |
|
|
|
Якщо крива L буде замкненою, то точка 2 співпаде з точкою 1 і тоді |
||||
ϕ1 = ϕ2 = 0 , а інтегрування буде проводитися по замкненому контуру |
||||
2 v r |
1 v r |
v r |
|
|
∫ Edl + |
∫ Edl = |
∫ Edl |
= 0. |
(13) |
1 |
2 |
L |
|
|
Циркуляцією ГЕ вектора напруженості Е називається інтеграл по будь- |
||||
v |
r |
|
|
|
якій замкненій кривій L від Edl , тобто |
|
|
||
v r
ГE = ∫ Edl .
L
Вираз (13) визначає, що циркуляція напруженості електростатичного поля |
||
v r |
|
|
ГE = ∫ Edl |
= 0 |
(14) |
L
Ознакою потенціальності будь-якого силового поля є рівність 0 циркуляції його вектора напруженості, у противному поле називається вихровим.
5. Взаємне розташування силових ліній та еквіпотенціальних поверхонь
Покажемо, що силова лінія L і еквіпотенціальна поверхня S у точці перетину A взаємно перпендикулярні, тобто кут між дотичними до них
становить α=90о (див.Мал.3а). Доведемо це твердження. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
При переміщенні одиничного |
||||||
|
|
пробного |
заряду |
|
по |
|||
|
|
еквіпотенціальній |
|
поверхні |
||||
|
|
(ϕ=const) на вектор drl |
||||||
|
|
виконується |
елементарна |
|||||
|
|
робота |
|
|
r |
r |
|
яка |
|
|
|
δA = Edl , |
|||||
|
|
дорівнює |
δA = −dϕ. Приріст |
|||||
|
|
потенціалу dϕ між будь- |
||||||
|
|
якими |
точками |
цієї |
поверхні |
|||
r |
r |
дорівнює 0 і тому скалярний |
||||||
|
|
r |
|
r |
|
(α=900), |
||
добуток Edl |
= 0 , що означає перпендикулярність векторів E |
та dl |
|
|||||
які лежать на дотичній до силової лінії L та |
|
на дотичній |
r |
|||||
|
τ до |
|||||||
еквіпотенціальної поверхні S відповідно. Таким чином |
доведено, що силова |
|||||||
лінія L і |
еквіпотенціальна поверхня S у точці |
перетину |
A |
|
взаємно |
|||
перпендикулярні. На Мал.3б представлено силові лінії напруженості та еквіпотенціальні поверхні для неоднорідного розподілу заряду на поверхні. Напруженість поля за величиною більше при вістрях зарядженого тіла.
В.М.Клименко. Електростатика 140
6.Напруженість та потенціал поля точкового заряду q
Увипадку електричного поля точкового заряду q
|
E = |
F |
|
|
= k |
q |
. |
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
q0 |
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
r |
|
(див.Мал.5). У такому |
||||||||||
Нехай переміщення пробного заряду є dR |
|
|||||||||||||||||||||||
випадку рівняння (7) для точкового заряду q запишеться у вигляді |
||||||||||||||||||||||||
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|||
dϕ = −EdR |
= −EdR cos |
α = − k |
|
|
|
dr = d k |
|
. |
(16) |
|||||||||||||||
r 2 |
|
r |
||||||||||||||||||||||
Після інтегрування (16) одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = k q |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величину константи С можна знайти з |
|||||||||||||||||||
|
умови, що при r→∞ потенціал ϕ→0 і константа |
|||||||||||||||||||||||
|
С=0. При виведенні величини ϕ, ми зважили на |
|||||||||||||||||||||||
|
те, що величина dLcosα є приріст відстані між |
|||||||||||||||||||||||
|
зарядами dr (див.Мал.4). Остаточно потенціал |
|||||||||||||||||||||||
електростатичного поля точкового заряду q |
|
на відстані r від нього дорівнює |
||||||||||||||||||||||
|
ϕ = k |
q |
. |
|
|
|
|
|
(17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо поле створене декількома зарядами, то потенціальна енергія |
||||||||||||||||||||||||
пробного заряду буде складатися з енергій взаємодії з кожним із зарядів |
||||||||||||||||||||||||
W = ∑ W i = ∑ k |
q0q i |
|
i , ϕ = ∑ |
Wi |
= ∑ k |
qi |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
i |
i |
|
|
r |
i |
|
|
|
|
|
i |
|
q |
0 |
|
|
i |
r |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||||||||||
і остаточно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ϕ = ∑ ϕi , ϕ i = k |
|
. |
|
|
(18) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
r i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Одержаний вираз (18) визначає зміст принципу суперпозиції для потенціалу.
7. Приклад застосування закону Кулона для макрозаряду
Діаметр зарядженого диска D=25 см. При якій граничній відстані а від диска по нормалі до його центру електричне поле в точці А можна розглядати як поле нескінченно протяжної площини? Помилка при такому припущенні не повинна перевищувати δ=0,05. Указівка. Помилка
В.М.Клименко. Електростатика 141
δ = |
|
E2 − E1 |
, де E 2 напруженість поля нескінченно протяжної площини, |
|||
|
|
|||||
|
|
E 2 |
|
|
|
|
E1 |
напруженість поля диска. |
|
|
|
||
|
|
Дано : D=0,25 м, δ = 0.05 , |
k = 9 109 Н |
м2 |
, a-? |
|
|
|
Кл2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язок
Розіб'ємо диск на концентричні кільця радіуса х, шириною dx. Розглянемо напруженість, створювану в точці А на осі кільця, віддаленій від центра на відстань а, як показано на Мал.11.
a. Напруженість електричного поля на осі зарядженого кільця
Виділимо на диску кільце радійса х, як показано на Мал.5.Нехай заряд Q рівномірно розподілений на площині диску з поверхневою густиною σ = Q / S. Кільце містить заряд q з лінійною густиною λ. Напруженість dE, створювана елементом кільця dL із зарядом dq = λ dL дорівнює
dE = k |
dq |
, |
(19) |
|
r 2 |
||||
|
|
|
де r = 
x2 + a2 відстань точки А від елемента кільця dL. Для обчислення
напруженості |
|
всього |
кільця, |
||
|
|
|
|
r |
|
необхідно векторно скласти dE від |
|||||
усіх елементів кільця dL |
тому числі |
||||
в сумі |
буде |
rприсутня складова |
|||
напруженості |
dE' |
від симетричного |
|||
відносно цента елемента кільця dL'. |
|||||
|
r |
r |
|
|
|
Вектори dE та dE' можна розкласти |
|||||
на тангенціальні |
r |
r |
та |
||
dE τ , |
dE'τ |
||||
нормальні |
|
r |
r |
|
|
dE n , |
dE'n |
складові. |
|||
Нормальні складові напруженостей елементів |
dL |
та |
dL' , |
як рівні |
за |
величиною та протилежні за напрямком взаємно знищаться, а величина суми паралельних тангенціальних складових дасть величину напруженості поля кільця
E = ∫ dEτ . |
|
|
(20) |
|
|||||
Тангенціальна складова напруженості така |
|
|
|
|
|||||
dE τ = dE cos α = dE |
a |
= k |
dq |
|
a |
= |
kaλ |
dL . |
(21) |
r |
r 2 |
r |
|
||||||
|
|
|
|
r3 |
|
||||
Підставивши в (12) вираз (13), обчислимо напруженість поля кільця
E(x) = ka3λ |
∫ dL = ka3λ |
2πx = ka3 (2πxλ) |
|
r |
C |
r |
r |