Физика / 2._________ __ _____

Коливання

§ 41. Коливальний рух

Коливальним рухом називається рух, що повторюється в часі. Якщо повторюваність відбувається за один і той же проміжок часу Т, то рух називається періодичним, а час Т періодом. За період здійснюється одне

повне коливання. Частота коливань ν = T1

одиницю часу, ω = 2πν циклічна частота. Рівняння коливання описує залежність зміщення тіла з положення рівноваги від часу.

Гармонічним називається коливання, рівняння якого описується функцією синуса або косинуса від часу кінематичне визначення, наприклад,

х = А·cos(ωt + α).

В цьому виразі х зміщення від положення рівноваги, А амплітуда коливань (максимальне зміщення), Ф(t)=ωt+α фаза коливань, Ф(t=0)=αпочаткова фаза. Якщо рух тіла спричиняється пружною силою, або квазипружною силою величина сили пропорційна зміщенню тіла зі

стану спокою), то такі коливання будуть також гармонічними. Це є динамічне визначення гармонічних коливань.

Гармонічне коливання можна представити графічно за допомогою вектора А, який обертається в площині ХОУ (див. Мал. 21). Модуль вектора дорівнює амплітуді коливання, а кут θ, який він складає з віссю ОХ дорівнює фазі коливання, тобто θ=Ф=ωt-α. Проекція вектора А на вісь ОХ здійснює коливання по гармонічному закону х=А·cos(ωt+α). Графічне зображення гармонічного коливання називається методом векторних діаграм.

В комплексній формі гармонічне коливання можна представити у вигляді:

Z = Z0eiωt ,

де Z0 = A·eiα комплексна амплітуда, модуль якої дорівнює Z0 =A, а аргумент argZ0=α. Фізичний зміст має дійсна частина комплексної величини Z, а саме x = Re Z = A cos(ωt + α) , або уявна частина

y = Im Z = Asin(ωt + α) , які представляють гармонічні коливання величин х та y відповідно.

§ 42. Пружинний маятник

Пружинний маятник являє собою тіло, підвішене на пружині, масою

лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок прискорення за додатній, через прості перетворення, запишемо рівняння (1) в алгебраїчній формі

Підставимо в (2) значення сил і запишемо його запишемо у канонічній формі

m

∫ dT = c 2 ∫ dm .

m 0

§ 43. Математичний маятник

Математичний маятник точкове тіло маси m, підвішене на нерозтяжному підвісі L, розмірами якого , порівнюючи з довжиною підвісу,

лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискорення за додатній , векторне рівняння можна записати в алгебраїчній формі

вільних незгасаючих коливань, або частота власних коливань маятника.

§ 44. Фізичний маятник

Фізичний маятник макроскопічне тіло, що здійснює малі періодичні коливання.rВісь обертання маятника О зміщена відносно центра мас тіла Oc

на вектор L . Коливання визначаються кутом ϕ відхилення тіла від положення рівновагиr r. Ці коливання здійснюютьсяr в загальному випадкуr r під

дією моменту M =[rrF] зовнішніх сил F, моменту сили тяжіння Mg =[L mgr]

та моменту сил опору Mr оп = −ζ dϕr , де ζ коефіцієнт опору. Величину dt

моменту сили тяжіння можна записати у вигляді: Мg = mgLsinϕ. Для малих коливань маятника маємо sinϕ ≈ ϕ і Мg = mgLϕ.

§ 45. Крутильний маятник

Крутильний маятник макроскопічне тіло з моментом інерції J, закріплене нерухомо на пружному стержні. Коливання визначаються кутом

відхилення ϕ тіла від положення рівноваги, вектором кутової швидкості dϕr dt

та вектором кутового прискорення βr = d2ϕr . Тіло здійснює малі періодичні dt2

)* Приведена довжина фізичного маятника є довжина підвісу математичного

маятника з періодом рівним періоду коливань фізичного маятника.

За законом збереження енергії робота джерела струму по перенесенню одиничного заряду UR + UC виконується за рахунок енергії джерела струму E + Eі, і тоді UR+UC=E+Eі.

§ 47. Вільні незгасаючі коливання

Якщо знехтувати силами опору (γ=0) при відсутності зовнішних сил, то рівняння вільних згасаючих коливань перетвориться в рівняння вільних незгасаючих коливань:

В (2) a0 −амплітуда коливань - максимальне відхилення тіла з

положення рівноваги. Амплітуда є додатною величиною. В (2) косинус є періодичню величиною з періодом 2π і періодом T, тому

В (3)

ω0T = 2πi T = 2π/ ω0 .

Приклад. Знайти період власних коливань системи тіл, що складається зі стержня маси М=1 кг довжиною L=1 м та двох куль масами m1=1 кг та m2=4 кг, що знаходяться на кінцях стержня відносно осі. Вісь коливання

дає два фундаментальні розв'язки диференціального рівняння

з яких утворюється загальний розв'язок. Загальним розв'язком однорідного рівняння (1) буде лінійна комбінація фундаментальних розв'язків

1) При γ > ω0 аперіодичний рух. При цьому λ1,λ2 < 0 дійсні числа. Функція ϕ є спадною функцією часу (λ1,λ2<0) і описує асимптотичне, експоненціальної залежності від часу, повернення маятника в стан рівноваги. При цьому коливальний рух не здійснюється. Якщо за початкових умов (у

Залежно від початкових умов, можливі два випадки аперіодичного повернення маятника до стану рівноваги (див. Малюнок 27). При ϕ0 > 0 i V0 < 0 із V0 < λ1ϕ0 коефіцієнт B буде менше нуля, а з ним

повернення (див. Малюнок 27) має тип а), тобто можливе проміжне відхилення маятника зі стану рівноваги в протилежному напрямкові, а в усіх інших випадках тип б) безпосереднє повернення до стану рівноваги.

2) Якщо γ < ω0, маятник буде здійснюватиколивальний рух. При цьому

з комплексними коефіцієнтами А, В. Для знаходження величин А та В зауважимо, що функція ϕ є дійсною функцією часу, і за цим вона має дорівнювати своїй комплексно спряженій функції ϕ = ϕ*