Физика / 2._________ __ _____

Якщо хвиля ξ=Acos(ωt-kx+α) розповсюджується в пружному середовищі, то частинки середовища мають кінетичну Wк та потенціальну Wп енергії. Одиниця об'єму має кінетичну енергію

відносне зміщення частинок, Е модуль Юнга. Квадрат хвильового числа, визначений через величину швидкості тіла у твердому тілі, можна записати у вигляді

Середнє за період Т значення повної енергії <W> визначається середнім значенням sin2(ωt - kx + α), яке дорівнює 1/2 i тепер:

< W >= A2ω2ρ/ 2 .

Інтенсивністю хвилі називається кількість енергії, яка проходить через одиничний поперечний переріз за одиницю часу:

I = ∆W ,

∆Sn ∆t

де ∆W енергія, яка проходить через поперечний переріз ∆Sn за час ∆t. За час ∆t через ∆Sn пройде енергія ∆W, яка міститься в об'ємі ∆V = ∆Sn∆l = ∆Sn V·∆t і дорівнює

∆W = < W > ∆Sn V·∆t,

при цьому

І = 21 А2ω2ρV.

§ 58. Інтерференція хвиль

Когерентними називаються дві хвилі, частоти яких співпадають ω1=ω2, а різниця фаз δ(t)=Ф1-Ф2 за період змінюється менше ніж на π. Надалі розглядатимуться когерентні хвилі з δ=const.

На кожну частинку середовища, до якої приходять дві або декілька хвиль, діють пружні сили, викликані коливаннями, що приносять ці хвилі.

Взаємодія когерентних хвиль призводить до перерозподілу їх енергії в просторі. Це явище називається інтерференцією хвиль. Нехай в деякій точці середовища взаємодіють дві когерентні хвилі. Результат взаємодії можна визначити через додавання в цій точці двох коливань одного напрямку. Математично це виражається у вигляді:

є різниця фаз хвиль, х1, х2 шлях, який пройшли коливання в середовищі. Для інтенсивності коливання I~A2 і можна записати

I = I1 + I2 + 2 I1I2 cosδ.

Як видно з виразу амплітуди результуючого коливання, при додаванні когерентних хвиль, в залежності від δ, може виникнути підсилення й послаблення інтенсивності. Можливі два випадки, характерні для

∆x = 2nλ,

а результуюча амплітуда дорівнює

A= a1 + a2 ,

іспостерігається максимум інтенсивності. Максимум інтерференції виникає

якщо різниця ходу когерентних хвиль дорівнює цілому числу довжин хвиль

∆xmax = nλ.

2.Якщо

δ = 2nπ + π, то cosδ = −1 2π∆x / λ = (2n +1)π ∆x = (2n +1)λ/ 2 ,

а результуюча амплітуда дорівнює

A=| a1 − a2 |

іспостерігається мінімум інтенсивності. Мінімум інтерференції виникає

якщо різниця ходу когерентних хвиль дорівнює напівцілому числу довжин хвиль:

∆xmix = (2n +1) λ/ 2.

§ 59. Акустичні хвилі

Акустичні хвилі хвилі з частотами в діапазоні від 16 Гц до 20 000 Гц, які викликають у людини слухові (звукові) відчуття. Хвилі з ν < 16 Гц інфразвукові а хвилі з ν > 20000 Гц ультразвукові.

Звукові шуми акустичні хвилі з неперервним спектром. Музикальні (тональні) звуки акустичні хвилі з лінійчатим спектром.

Кожна синусоїдальна хвиля називається звуковим тоном, а тон із найменшою частотою ν0 основним, тони з ν > ν0 обертонами, якщо ν кратні ν0 обертони називаються гармонічними (перша, друга і т.д. гармоніки).

Тембр звуку визначається набором обертонів їх частотами та амплітудами.

Мірою сили слухового відчуття є гучність звуку, яка залежить від його інтенсивності та частоти.

Порогом чутності називається та мінімальна інтенсивність звуку І0, при якій звук сприймається органами слуху. Стандартний поріг чутності

I*0 =10−12 Вт/м2 при ν=1000 Гц.

Порогом болевого відчуття називається та мінімальна інтенсивність звука Іпор, при якій сприймання звуку органами слуху не викликає болевого відчуття.

Інтенсивність плоскої звукової хвилі

I = 12 Aρω2V ,

де ρ густина середовища, ω частота хвилі, А амплітуда хвилі, V швидкість хвилі.,

Ультразвук. Ультразвук є акустичною хвилею з частотою ν > 20 кГц і характеризується особливою властивістю поширюватися у вигляді строго спрямованих променів. Це викликано високими частотами (малими довжинами хвиль) ультразвуку. Для генерації ультразвуку використовуються

змінні електричні або магнітні поля, що діють, наприклад, на кварцеву пластину у першому випадку зворотний п'єзоелектричний ефект, або феромагнтик у другому випадку магнітострикція. В обох випадках у кристалах виникають вимушені пружні деформації, що породжують у випадку резонансу (власні частоти кристалів співпадають з частотами змушуючого поля) випромінювання потужних ультразвукових хвиль.

Ультразвуки широко використовуються в техніці і промисловості, у вивченні фізичних властивостей речовин, у медицині і біології і т.п.

§ 60. Ефект Доплера

При взаємному рухові приймача та джерела хвиль, змінюється, порівняно з частотою джерела хвиль, частота звукових коливань, яку реєструє приймач. Це явище має назву ефект Доплера

Vджерело хвиль рухається від нього по прямій зі швидкістю Vдж. За період Т0 джерело

λ=λ0+∆λ=V·Т0+Vдж·T0=(V+Vдж)·T0=(V+Vдж)/ν0,

де V фазова швидкість хвилі. Частота, яку сприймає приймач

ν = V/λ, ν = ν0/(1 + Vдж/ V).

2). Нехай джерело нерухоме, а приймач рухається по прямій до джерела зі швидкістю Vпр. Тепер хвиля до приймача буде рухатися з відносною швидкістю V + Vпр, i частота хвилі буде

ν = V + Vпр і ν = ν0 (1+ Vпр ).

λ0 V

3). У випадку, коли джерело й приймач рухаються по прямій (див.Мал.34), можна записати

ν = ν0 V + Vпр ,

V + Vдж

причому Vпр додатна, коли приймач рухається до джерела, і Vдж додатна, коли джерело рухається від приймача. В інших випадках ці швидкості записуються з від'ємним знаком.

§ 61. Стоячі хвилі

Якщо всі частинки середовища коливаються в фазі а амплітуда коливань залежить від координати точки, то кажуть, що в середовищі виникла стояча хвиля.

Для простоти розглянемо результат взаємодії двох зустрічних хвиль з

Відстань між двома сусідніми вузлами або пучностями називається довжиною стоячої хвилі і вона дорівнює λст = λ2 .

§ 62. Спектр власних частот одновимірних середовищ

Граничні умови для стоячих хвиль у випадку закритого стовпа повітря в скляній трубці довжиною L полягають в тому, що при жорстких закріпленнях, на кінцях трубки розміщуються вузли стоячої хвилі, що

можливо за умови, коли L = n λ2n , n = 1, 2, 3, ... . Така сама умова буде, коли

кінці трубки будуть відкриті, і на них будуть утворюватися пучності. Якщо трубка з одного боку відкрита, а з іншого закрита, то на відкритому кінці

утворяться пучності, а на закритому вузли. Це можливо при L = n λ2n + λ4 ,

n = 0, 1, 2, ... Частоти νn , що відповідають наведеним умовам називаються

власними і їх величина для закритої або відкритої з двох кінців трубки становить

νn = n 2VL ,

а для напівзакритої трубки

νn = (n + 21) 2VL ,

де V фазова швидкість хвилі.

§ 63. Диференціальне рівняння хвилі

Рівняння хвилі ξ = ξ0 cos(ωt − krrr + α) є розв'язком диференціального

другого порядку по просторовим змінним x,y,z від ξ(x,y,z), який ще називають оператором Лапласа. Щоб упевнитися в цьому, знайдемо вказані другі частинні похідні від ξ(x,y,z):

похідних по x,y,z дає