Физика / 4.___________ ______

Статистична фізика

§ 80. Імовірність та флуктуації

Наведемо деякі визначення поняття ймовірності.

1. Імовірність wі деякого і-го стану системи визначається границею відношення часу tі, на протязі якого система знаходиться в даному стані, до повного часу Т спостереження за системою при необмеженому збільшенні Т

2. Якщо фізична величина А при N вимірюваннях мала Ni число значень Аі, то ймовірність wi того, що величина А має значення Аі дорівнює границі відношення Ni/N при необмеженому зростанні N і вона співпадає з

де f(A) називається густиною ймовірності або функцією розподілу ймовірності.

Умова нормування ймовірності для дискретних станів

сума ймовірності по всім можливим станам є ймовірність достовірної величини і вона дорівнює 1, а для неперервної зміни стану сума замінюється інтегралом

сума ймовірностей для всіх елементарних значень параметра стану А є ймовірність достовірної величини і дорівнює 1.

Середнє статистичне значення величини А позначається A і

i

а для неперервної зміни величини А як

A = ∫ Adw ,

де сума й інтеграл беруться по всім можливим станам системи.

Флуктуації це випадкові відхилення термодинамічних параметрів від рівноважних значень. Якщо термодинамічна система складається з невеликого числа частинок, то розподіл частинок, випадково відхиляючись

від рівноважного, може суттєво змінювати величини термодинамічних параметрів. Для кількісної оцінки флуктуації деякої величини А

використовують квадратичну флуктуацію, яку ще називають дисперсією σ2A .

Дисперсія є середнє значення квадрата відхилення А від її середнього значення:

σ2A = (∆A)2 = (A − ∆A)2 = A2 − 2AA + A2 = A2 − A2 ≥ 0.

Величина σA = σ2A називається абсолютною флуктуацією, а δA = σAA

відносною.

Природа флуктуацій термодинамічних величин визначається хаотичним тепловим рухом структурних частинок середовища. Чим більше число N цих частинок, тим менший вплив їх флуктуацій на значення термодинамічних величин. Доведено, що для хімічно однорідного ідеального газу, при сталому об'ємі, флуктуації густини ρ, тиску Р та температури Т обернено пропорційні кореню з числа частинок газу

1N .

Звідси видно, що для середовища з великим числом частинок флуктуаціями термодинамічних величин можна нехтувати.

§ 81. Розподіл Максвелла для частинок за швидкостями

1. Закон розподілу частинок (атомів) ідеального газу за швидкостями визначає їх стаціонарний розподіл за швидкостями в умовах термодинамічної рівноваги й відсутності зовнішнього силового поля.

Розподіл частинок ідеального газу за абсолютними значеннями швидкостей V дослідив Максвелл. Він визначив, що число частинок, швидкості яких лежать в інтервалі (V; V + dV) представляється виразом

dn = n0dP,

де n0 − загальне число частинок, а їх частка

dP = dn = f (V)dV n0

є ймовірністю такого розподілу із густиною

−mV2

f (V) = Ae 2kT V2 .

В цьому виразі m маса частинки, k стала Больцмана, Т температура, V= Vx2 + Vy2 + Vz2 . Стала нормування А визначається так

Закон Максвелла можна застосовувати і для скінчених малих величин

∆n та ∆V

що й треба було довести.

Вираз dP = dn = f (V)dV значно спрощується, якщо ввести змінну n0

N i=1

для дискретних значень V та

∞

V = ∫ Vf (V)dV,

0

для неперервних значень V.

Розрахунки середньої швидкості частинок ідеального газу за розподілом Максвелла дають

4. Експериментальна перевірка розподілу Максвелла була зроблена лише через 60 років після його встановлення О. Штерном та іншими дослідниками. Зокрема, найбільш простий та надійний дослід провів Б. Ламмерт. Вузький молекулярний пучок М вирізувався системою діафрагм в парах металу, які виходили з молекулярної пічки посудини, в якій випаровувався рідкий метал. Цей пучок проходив через два диски з вузькими радіальними прорізами, паралельно осі, на якій знаходились диски. Напроти пучка розміщувався уловлювач. Прорізи були повернуті один відносно другого на

кут ϕ. При нерухомих дисках пучок не потрапляв в уловлювач, а при обертанні з кутовою швидкістю ω вони проходили вільно. Це означало, що час повороту дисків на кут ϕ дорівнював часу прольоту частинок відстані L

між дисками: t = ωϕ = VL , де V середня швидкість молекул при заданій температурі Т. Звідси маємо

V = L ωϕ .

Середню квадратичну швидкість

0

рівнорозподіл енергії за ступенями свободи для вільної частинки. Згідно цієї теореми середня кінетична енергія теплового руху частинки з масою m дорівнює

m2V2 = 32 kT

і звідси

с= 3mkT = 3RTµ 1.73 kTm .

§82. Барометрична формула

Барометрична формула

−mgh

P = P0e kT

визначає залежність тиску атмосфери Р від висоти h над Землею. Щоб знайти цю формулу приймемо, що на поверхні Землі атмосферний тиск P0 , а

на при поверхневих висотах температура є сталою (величина зміни ∆Т з висотою мала порівняно з Т на поверхні Землі). Газ атмосфери можна описати рівнянням КлапейронаМенделєєва, визначивши з нього, наприклад, густину повітря

ρ = RTPµ .

Нехай на висоті h тиск Р. При збільшенні висоти на dh тиск зменшиться на величину тиску стовпа повітря dP=-ρgh. П і с л я підстановки виразу для густини одержимо

dP = − PRTµg dh = − PmgkT dh .

З останнього виразу можна одержати диференціальне рівняння для тиску з розділеними змінними Р та h

dPP = − mgkT dh .

Після інтегрування маємо

lnP = −mgkT h + C.

Сталу С знайдемо з умови, що на висоті h = 0 тиск P = P0 і остаточно

−mgh

Р = P0 e kT .

Одержаний вираз називається барометричною формулою. За цією формулою можна досить точно вимірювати висоту h по значенню тиску Р, що вимірюється барометром. Проградуйований у значеннях висоти, цей барометр називається альтиметром.

Приклад 1. Розрахувати масу атмосфери Землі, користуючись барометричною формулою.

Дано.

Остаточно

M =5.3 1018 кг.

Для порівняння маса Землі складає MЗ =5.98 1024 кг, тобто в 1ю2 106 разів більша за знайдену масу атмосфери.

§ 83. Розподіл Максвелла - Больцмана

1. Розподіл Максвелла для частинок ідеального газу за значеннями кінетичної енергії має вид

де dn число частинок із загальної їх кількості n, кінетичні енергії яких лежать в інтервалі (Ek ;Ek + dEk ).

Цей розподіл можна одержати, якщо в розподілі по швидкостям провести заміну змінної

2. Зваживши на те, що P=nkT, з барометричної формули одержимо розподіл Больцмана для частинок у потенціальному полі

−Eп

n = n0e kT ,

де Еп = mgh потенціальна енергія частинки в полі тяжіння Землі. Обидва розподіли можна об'єднати в один розподіл Максвелла-Больцмана, який визначає число частинок в одиниці об'єму, що знаходяться в

потенціальному полі з енергією Еп і мають швидкість в інтервалі

[V,V+dV]. Цей розподіл Максвелла - Больцмана має вигляд

§ 84. Статистичний розподіл частинок за напрямком руху

Хаотичність теплового руху n частинок ідеального газу означає їх рівнорозподіл руху за напрямками швидкостей, а саме: усі напрямки теплового руху рівно ймовірні. Якщо в простір частинок увести декартову систему координат із 3-ма осями x,y,z і 6-ма напрямками по ним (±), то в кожному з них рухається

= 16 n

частинок. Наприклад, якщо частинки мають середню швидкість теплового руху V, то в додатному напрямку осі ОХ через перпендикулярну до неї площину S за час dt пройдуть всі частинки, що знаходяться на відстані dL = V·dt і їх загальне число становить

dN+ = nx dL S = 16 n V S dt .

§ 85. Ефективний діаметр та переріз розсіювання

Ефективний діаметр dеф частинок ідеального газу є найменша

відстань між центрами двох частинок, які здійснюють центральний пружний удар. За порядком величини

dеф ≈10−10 м.

Таблиця 5. Значення ефективного діаметра деяких молекул

одночасово проходять через σеф , обов'язково співударяються.

§ 86. Число зіткнень частинки за одиницю часу

Число співударянь частинки із середньою швидкістю V при концентрації n за 1с дорівнює

Z = 2nσефV .

Щоб одержати цей вираз, розглянемо траєкторію, що її опише частинка ідеального газу за час dt. Вона являє собою деяку ламану лінію, у вузлах якої відбулися зіткнення з іншими частинками. ЇЇ довжина становить dL=Vdt, де V є середня швидкість частинок. Побудуємо на цій ламаній, як на осі, циліндр з основою, рівною ефективному перерізу σеф . Приймаючи до уваги

властивість ефективного перерізу, можна стверджувати, що розглядувана частинка обов’язково співудариться з усіма нерухомими частинками

dN = ndLσеф = nVσефdt ,

співударянь за час dt дорівнює dN = 2nVσефdt , а число співударянь за одиницю часу дорівнює

§ 87. Середня довжина вільного пробігу

Середня довжина вільного пробігу λ є середня відстань між двома послідовними співударяннями частинок, що рухаються рівномірно й прямолінійно. Величину λ можна обчислити, виходячи з того, що на довжині траєкторії dL=Vdt відбувається Zdt співударянь і тоді середня довжина вільного пробігу між співударяннями становить

Приймаючи до уваги, що n = kTP , можна записати

§ 88. Явища переносу

Явища переносу (дифузія, теплопровідність, внутрішнє тертя) полягають у виникненні напрямленого переносу в газах маси (дифузія), внутрішньої енергії (теплопровідність) та імпульсу направленого руху відповідно.

Явища переносу виникають при просторовій неоднорідності концентрації n, температури Т і швидкості напрямленого руху частинок u. Вирівнювання значень n, T, u в об'ємі відбувається за рахунок теплового руху частинок, що характеризується середньою швидкістю V.

1. Експериментально визначено, що при одновимірній дифузії однорідного газу, число частинок N, що переносяться за час dt через елементарний поперечний переріз S дорівнює

N = −D dndx Sdt ,

де D коефіцієнт дифузії.

2. Експериментально визначено, що для ідеального газу в одновимірному стаціонарному випадку кількість тепла dq, що переноситься в напрямку ОХ нормально до площадки dS за час dt описується рівнянням Фур'є:

dq = −χ dTdx Sdt ,

де χ коефіцієнт теплопровідності.

3. Сила внутрішнього тертя F, що діє на площадку S поверхні шару Ох при просторовій неоднорідності швидкості напрямленого руху u=u(x) OX задається рівнянням Ньютона

F = −ηdudx S,

де η коефіцієнт в'язкості.

§ 89. Дифузія

Для визначення коефіцієнта дифузії D, розглянемо одновимірний рух частинок, як показано на Мал.42. Нехай концентрація частинок є функцією координати х: n=f(x), а число частинок, що рухаються в напрямкові осі ОХ дорівнює

nx = 16 n = 16 f (x) .

В додатному напрямку ОХ через S ОХ, що має координату х, за 1с пройде

dN+ = 16 V S f (x − ∆x)

частинок, де величина ∆х задає координату точки, починаючи з якої частинки без співударяння пройдуть через S. Такою величиною є середня довжина

вільного пробігу ∆х = λ. Аналогічно в протилежному напрямкові пройде

для достатньо малих ∆х, що задовольняють певній точності обчислення похідної, можна записати

f '(x) f (x + ∆x) − f (x)

∆x

і звідси

f (x + ∆x) = f (x) + f '(x)∆x ,

або в загальному виді значення функції в точці х±∆х можна записати через значення функції та її похідної у точці х таким чином

f (x ± ∆x) = f (x) ± f '(x)∆x ,

причому