Физика / 9._______________ _________ __ _____

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

232

2. Застосовуючи друге правило Кірхгофа до

такого контуру, одержимо

U R + UC =

εL + ε .

(1)

Підставляючи відповідні вирази для напруги та

електрорушійних сил, одержимо

IR + q / C = ε0 cos ωt − LdI / dt .

(2)

Для

одержання

диференціального

рівняння

коливань заряду на обкладках конденсатора,

підставимо у (2)

замість І його значення

I = dq і

розділимо рівняння на індуктивність L

dt

d 2 q

+

2γ

dq

+ ω02 q = e0 cos ωt ,

(3)

dt 2

dt

де

R

1

εo

2

γ =

, ω0

=

, e0 =

.

(4)

2L

LC

L

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

233

d2q

2

(1)

dt2

+ ω0q = 0 ,

а його розв'язком є

q = q 0 cos(ω0 t +α) .

(2)

νo = ωo

=

1

,

(3)

•

період коливань

2π

2π

LC

•

струм у колі

To =1/ νo = 2π

LC ,

(4)

I =

dq

= −ω0 q0 sin(ω0 t + α) = I0 cos(ω0 t + α + π/ 2),

I0 = ω0 q0 .

(5)

dt

Коливання струму випереджають коливання заряду за фазою на π/2.

• Напруга на обкладках конденсатора

q 0

U C = q / C = U C0 cos(ω0 t +α), U C0 =

.

(6)

C

• Електрорушійна сила самоіндукції у соленоїді

εL

= −L

dI

= Lω02 q0 cos(ω0 t + α) =ε0L cos(ω0 t + α) ,

(7)

dt

ε0L = Lω02 q0 .

(8)

• Електрична та магнітна енергії контуру задаються виразами

1 q 2

q 2

q

2

W

=

=

0

cos2 (ω

0

t + α) =

0

[1 + cos(2ω

0

t + 2α)].

(9)

e

2 C

2C

4C

Wm

=

1

LI2

=

1

LI02

sin 2 (ω0 t + α) =

1

LI02 [1 − cos(2ω0 t + 2α)].

(10)

2

4

2

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

234

Lω02

=1/ C ,

магнітну енергію можна записати у вигляді

q 2

Wm

=

0

[1 − cos(2ω0 t + 2α)].

(11)

4C

Середні значення енергій <Wm> та <Wm> за період задаються виразами

q2

< W >=

0

[1+ < cos(2ω

0

t + 2α) >] ,

(12)

e

4C

q 2

< Wm >=

0

[1− < cos(2ω0 t + 2α) >],

(13)

4C

де середнє значення косинуса є

T0

1

T

2π

1 T

2π

0

t + α)

= 0.

< cos(2ω0 t + 2α) >= T

∫cos 2(T

t + α)dt =

T

2πsin 2(T

0

0

0

0

0

0

0

Таким чином одержимо

qo2

< W

>=< W

>=

,

e

m

4C

а повна енергія буде такою

q02

W =< W > + < W

m

>=

=

1

Lω2 q 2 .

(14)

e

2C

2

0 0

Під час коливань електрична енергія конденсатора (потенціальна

енергія) переходить у магнітну

енергію

соленоїда

(кінетична енергія) і

навпаки так, що зберігається повна енергія контуру W.

Хвильовий опір контуру змінному струмові визначається так

ρ =

ε0L

= Lω0

=

L .

(15)

I0

C

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

235

Розв'язок

λ 2

εε

S

εε

S

d

T = 2π LC , C =

0

, λ=сТ, λ = 2πc L

0

, ε =

, ε=1.55

ε0LS

d

d

2πc

Розв'язок

ω0 =

1

, L = µµ0

N S

= µ0

N S

, C =

εε0S1

,

LC

l

µ=1

l

d

ω0 =

ld

= c

ld

, c =

1

,

εε0µ0 N2SS1

N

εN2SS1

ε0µ0

на ньому U, максимальну енергію електричного

We

та магнітного W м

поля, хвильовий опір контуру ρ.

max

max

= 0.5 A , T-?, C-?, U-?, We

Дано:L=0.2 Гн, І=0.5 cos 250πt, ω

0

= 250π, I

m

-?,

max

W м -?, ρ-?

max

Розв'язок.

2π

T =

= 0.008 c , ω02

=

1

C =

1

= 8.11µФ,

ω02 L

ω0

Im

LC

q = ∫ I(t)dt =

sin ω0 t =

0.5

sin 250πt

250π

ω0

q=6.37 10-4 sin250πt Кл,

U =

q

=

6.37 10−4

sin 250πt = 78.5sin 250πt B

C

8.11 10−6

We =

CU2

8.11 10−6 78.52

= 2.5 10−2 Дж

m

=

m

2

2

Wм =

LI2

0.2 0.52

= 2.5 10

−2

L

0.2

m

=

Дж, ρ =

=

=157 Ом.

m

2

2

C

8.11 10−6

Приклад 5. Максимальна енергія вільних незгасаючих коливань

контурa складає

We

=

2 10−4 Дж. При

повільному розсуванні

пластин

max

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

236

Дано: We

=

2 10−4 Дж,

n=2, А-?.

max

Розв'язок

C = εε0S

, C

2

= εε0S ,

1

d1

d2

ω =

1

, ω

=

1

, n =

ω2

=

C1

C

=

C1 ,

1

LC

2

LC

2

ω

C

2

2

n 2

1

1

C

1

2 U

, We

C

U2

q

= q

= C

U

= C

U

, U

= U

= n

=

1

1

,

1

2

1

1

2

2

2

1 C2

1

max1

2

We

=

C2U22

= n2We

, A

= We

− We

= (n 2 −1)W e

= 6 10−4 Дж.

max 2

2

max 1

max 2

max1

max1

§ 59. Вільні згасаючі електромагнітні коливання

1.

Вільні

згасаючі електромагнітні коливання виникають у RLC-

= 0) і омічний опір невеликий (

ω0

> γ → R < 2ρ) . Рівняння цих коливань

запишеться у вигляді

d 2 q

+ 2γ

dq

+ ω02 q = 0 ,

(1)

dt

а його розв'язком є

dt 2

де

q = A(t) cos(ωt + α), A(t) = A0

e−γt ,

(2)

2

2

=

1

−

R2

, =

R

2ρ

2

(3)

ω = ωo − γ

LC

4L2

−1 −

циклічна частота.

2L

R

2. Характеристики згасаючих коливань

• Амплітуда коливань є спадною функцією часу

•

Період коливань

А(t)=Aoe-γt,

(4)

4πL

1

T =

2π

=

2π

=

,

(5)

ω

1

−

R 2

R

2ρ

2

−1

LC

4L2

R

•

час релаксації

1

2L

τ =

=

,

(6)

γ

R

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

237

• число повних коливань за час релаксації

Ne =

τ

=

1

=

1

=

1

(

2ρ

)

2

−1,

(7)

T

γT

λ

2

R

•

логарифмічний декремент згасання

λ = ln

A(t)

=

R

T =

2π

,

(8)

A(t + τ)

2L

2ρ

2

−1

R

•

добротність контуру

Q = 2

A 2

(t)

=

2

,

(9)

A 2 (t)

− A 2 (t

1 − e−2

+ T)

У випадку малого опору, коли γT <<1 e−2γT ≈1 − 2γT

Q =

π

=

π

= πN e

(10)

γT

λ

Q =

1

4L

−1 =

1

2ρ

2

−1 .

(11)

2

R

2 C

2

R

Q =

ρ

.

(12)

R

Повний опір контуру (імпеданс) визначається так

Z =

R

2

1

2

(13)

+ ωL −

.

ωC

1

Розв′язок.

R

ω0

=

= 31622,78 = 3.2 104

рад/c , γ =

=103

c-1 ,

LC

2π

2L

ω= ωo2 − γ2

=31606,96 =3.2 104 рад/c

, T =

= 0,000199 = 2.00 10-4

c

1

τ

ω

τ =

=10−3 c , Nτ =

= 5.03, λ = γT = 0.2,

γ

T

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

238

Q =

2π

=

6.28

= 9,34

1

−e−2γT

0,672078

ρ =

L

=316 Ом, Z =

R

2

ωL

−

1

2

C

+

= 21,36 Ом

ωC

Після підстановки характеристик елементів контуру одержимо

q0 =

εo

=

εo

.

(4)

1

Rω

1

2

2

2

2

2

L (ω

−

)

+ (

)

ω (ωL −

)

+ R

LC

L

ωC

Початкова фаза визначається так

α = arctg

2γω

= arctg

R

.

(5)

ωo2

− ω2

1

− ωL

ωC

Струм у контурі

I =

dq

= −ωq0 sin(ωt − α) = ωq0 cos(ωt − α + π/ 2)

dt

I = I0 cos(ωt − α + π/ 2),

(6)

де

Іо= εo , Z=